Ex. 8.18 - Mostre que a sequência ( 0.9,0.99,0.999,0.9999, ldots ) converge a 1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a sequência
0,9,;0,99,;0,999,;0,9999,;dots
converge a 1.
O conteúdo é limite de sequência numérica e usaremos a definição: “ limntoinftyan=L” significa que, para todo varepsilon>0, existe N tal que l|an-Lr|<varepsilon sempre que n>= N.

Passo 2

Vamos escrever o termo geral an. Observando os primeiros termos:
0,9 = 1 - 10^-1, 0,99 = 1 - 10^-2, 0,999 = 1 - 10^-3,dots
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an = 1 - 10^-n

Passo 3

O candidato a limite é L=1. De fato, como limntoinfty10^-n=0, segue
limntoinftyan = limntoinftyl(1-10^-nr) = 1 - 0 = 1

Passo 4

Para aplicar a definição rigorosa, seja dado varepsilon>0.
Calculamos
l|an - 1r| = l|1 - 10^-n - 1r| = 10^-n
Queremos 10^-n<varepsilon. Basta escolher qualquer
N > log10!l(1/varepsilonr),
pois então, para todo n>= N, temos 10^-n<=10^-N<varepsilon. Isso mostra que anto1.

Resposta

limntoinftyan = 1.

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