Ex. 8.17 - Dado
arbitrário, determine, em cada caso,
tal que
para todo
, onde:
Passo 1
O enunciado considera a sequência
e pede que, dado um
arbitrário, a gente encontre um índice
tal que
O conteúdo envolvido é manipulação de logaritmos e escolha de um parâmetro em
para satisfazer uma desigualdade.
Passo 2
Reescrevemos
usando propriedades do logaritmo:
Então a condição
fica
Passo 3
Multiplicando a desigualdade por
(e invertendo o sinal), obtemos
Agora aplicamos a função exponencial em ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Passo 4
Como
deve ser um número natural, basta escolher um
tal que
A forma mais direta é tomar
onde
é a parte inteira de
.
Passo 5
Verificação: se
, então
Portanto essa escolha de
funciona para todo
.