Ex. 8.17 - Dado M>0 arbitrário, determine, em cada caso, m in N^* tal que an<-M para todo n >= m, onde:
an=ln 1n

Passo 1

O enunciado considera a sequência
an = ln1n
e pede que, dado um M>0 arbitrário, a gente encontre um índice minN^* tal que
an < -M para todo n>= m
O conteúdo envolvido é manipulação de logaritmos e escolha de um parâmetro em N para satisfazer uma desigualdade.

Passo 2

Reescrevemos an usando propriedades do logaritmo:
an = ln1n = -ln(n)
Então a condição an < -M fica
-ln(n) < -M

Passo 3

Multiplicando a desigualdade por -1 (e invertendo o sinal), obtemos
ln(n) > M
Agora aplicamos a função exponencial em ambos os lados para eliminar o logaritmo:
n > e^M

Passo 4

Como n deve ser um número natural, basta escolher um minN^* tal que
m > e^M
A forma mais direta é tomar
m = lfloor e^Mrfloor + 1,
onde lfloor e^Mrfloor é a parte inteira de e^M.

Passo 5

Verificação: se n>= m, então
n >= lfloor e^Mrfloor + 1 > e^M Longrightarrow ln(n) > M Longrightarrow -ln(n) < -M Longrightarrow an< -M
Portanto essa escolha de m funciona para todo n>= m.

Resposta

m = lfloor e^Mrfloor + 1

Exercícios de Livros Relacionados