Ex. 8.13 - Sejam dadas as sequências
an=n^2, bn=-n^3, cn=raizn dn=(-1)^n n, en=n+(-1)^n n
Em cada caso abaixo, determine para quais valores de n vale
cn>2000

Passo 1

O enunciado dá a sequência
cn = raizn
e pede para determinar para quais n vale
cn>2000
Aqui o conteúdo é desigualdade envolvendo raiz quadrada de um número natural. Vamos usar o fato de que a função xmapstoraizx é crescente para x>=0 e que, ao elevar ambos os lados de uma desigualdade não-negativa ao quadrado, a direção da desigualdade se preserva.

Passo 2

Escrevemos a condição
raizn>2000
Como ambos os lados são não-negativos, podemos elevar ao quadrado sem inverter o sinal da desigualdade:

Passo 3

(raizn)^2 > (2000)^2 Longrightarrow n > 2000^2
Calculando o quadrado, obtemos
n > 4,000,000

Passo 4

Como n só faz sentido inteiro positivo (índice de sequência), a desigualdade n>4,000,000 equivale a
n>= 4,000,001

Resposta

A condição cn>2000 é satisfeita exatamente para
n>4,000,000,
ou, de modo equivalente, para
n>=4,000,001,
com ninN.

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