Ex. 8.13 - Sejam dadas as sequências
Em cada caso abaixo, determine para quais valores de
vale
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede para determinar para quais
vale
Aqui o conteúdo é desigualdade envolvendo raiz quadrada de um número natural. Vamos usar o fato de que a função
é crescente para
e que, ao elevar ambos os lados de uma desigualdade não-negativa ao quadrado, a direção da desigualdade se preserva.
Passo 2
Escrevemos a condição
Como ambos os lados são não-negativos, podemos elevar ao quadrado sem inverter o sinal da desigualdade:
Passo 3
Calculando o quadrado, obtemos
Passo 4
Como
só faz sentido inteiro positivo (índice de sequência), a desigualdade
equivale a
Resposta
A condição
é satisfeita exatamente para
ou, de modo equivalente, para
com
.