Ex. 8.22 - Dado k in N^*.
a) Seja (an)n=1^infty uma sequência real convergente e seja bn=an+k a sequência obtida "removendo os k primeiros termos de an ". Prove que bn converge e que
lim n infty an=lim n infty bn
b) Prove que se bn converge então an converge e que:
lim n infty an=lim n infty bn
Ou seja, a convergência da sequência independe de um número finito de termos iniciais.

Passo 1

O enunciado trata de uma sequência real l(anr)n=1^infty e da sequência “deslocada”
bn = an+k,
para um kinN^*. O conteúdo é definição de limite de sequência (critério varepsilon N). Vamos provar em (a) que, se anto L, então bnto L, e em (b) o contrário, mostrando que a convergência independe de remover ou adicionar um número finito de termos iniciais.

Passo 2

Prova de (a): suponha limntoinftyan=L. Então, dado varepsilon>0, existe N0inN tal que
forall n>= N0: |an-L|<varepsilon
Defina
N1 = max1,;N0-k
Se n>= N1, então n+k>= N0 e, por isso,
|bn-L| =|an+k-L| <varepsilon
Isso mostra que forall n>= N1:;|bn-L|<varepsilon, logo limntoinftybn=L.

Passo 3

Concluímos a parte (a): bn converge e
limntoinftybn =limntoinftyan

Passo 4

Prova de (b): agora suponha limntoinftybn=L. Dado varepsilon>0, existe M0inN tal que
forall m>= M0: |bm-L|<varepsilon
Escolha
N = M0 + k
Se n>= N, então n-k>= M0 e, como bn-k=an, obtemos
|an-L| =|b,n-k-L| <varepsilon
Logo forall n>= N:;|an-L|<varepsilon, o que mostra que limntoinftyan=L.

Passo 5

Interpretando ambas as partes, vemos que a remoção ou inserção de k termos iniciais não altera nem a convergência nem o limite.

Resposta

Ficou provado que
limntoinftyan=L ;Long<=ftrightarrow; limntoinftybn=L,
ou seja, a convergência independe de um número finito de termos iniciais.

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