Ex. 8.22 - Dado
.
a) Seja
uma sequência real convergente e seja
a sequência obtida "removendo os
primeiros termos de
". Prove que
converge e que
b) Prove que se
converge então
converge e que:
Ou seja, a convergência da sequência independe de um número finito de termos iniciais.
a) Seja
Passo 1
O enunciado trata de uma sequência real
e da sequência “deslocada”
para um
. O conteúdo é definição de limite de sequência (critério
–
). Vamos provar em (a) que, se
, então
, e em (b) o contrário, mostrando que a convergência independe de remover ou adicionar um número finito de termos iniciais.
Passo 2
Prova de (a): suponha
. Então, dado
, existe
tal que
Defina
Se
, então
e, por isso,
Isso mostra que
, logo
.
Passo 3
Concluímos a parte (a):
converge e
Passo 4
Prova de (b): agora suponha
. Dado
, existe
tal que
Escolha
Se
, então
e, como
, obtemos
Logo
, o que mostra que
.
Passo 5
Interpretando ambas as partes, vemos que a remoção ou inserção de
termos iniciais não altera nem a convergência nem o limite.
Resposta
Ficou provado que
ou seja, a convergência independe de um número finito de termos iniciais.