Mostre que
Sugestão: 1. Expresse as funções trigonométrica e hiperbólica em termos de exponenciais.
2. Resolva para a exponencial e então para o expoente.
,
2. Resolva para a exponencial e então para o expoente.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
.
Aqui o conteúdo é a definição da tangente complexa em termos de exponenciais e a inversão dessa relação.
Aqui o conteúdo é a definição da tangente complexa em termos de exponenciais e a inversão dessa relação.
Passo 2
Começamos escrevendo
em termos de exponenciais. Sabemos que
logo
Passo 3
Impondo agora
, obtemos
Para facilitar, defina
. Então
e
, e a equação vira
Passo 4
Multiplicando pelos termos de baixo e rearranjando, temos
Como
, concluímos
Passo 5
Basta agora aplicar o logaritmo complexo e isolar
:
Para chegar exatamente à forma proposta, note que
(ao multiplicar numerador e denominador por
). Assim
Como
, obtemos a fórmula pedida.