Mostre que
Sugestão: 1. Expresse as funções trigonométrica e hiperbólica em termos de exponenciais.
2. Resolva para a exponencial e então para o expoente.
tg^-1 z=i2 ln (i+zi-z),

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
tg^-1z=i2ln!gl(i+z,i-z,gr).
Aqui o conteúdo é a definição da tangente complexa em termos de exponenciais e a inversão dessa relação.

Passo 2

Começamos escrevendo
tan w em termos de exponenciais. Sabemos que
sin w=e^iw-e^-iw2i, cos w=e^iw+e^-iw2,
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tan w=sin wcos w =e^iw-e^-iw2ie^iw+e^-iw2 =e^iw-e^-iw,i,(e^iw+e^-iw),

Passo 3

Impondo agora tan w=z, obtemos
e^iw-e^-iw,i,(e^iw+e^-iw)=z
Para facilitar, defina t=e^2iw. Então e^iw=t^1/2 e e^-iw=t^-1/2, e a equação vira
t^1/2-t^-1/2,i,(t^1/2+t^-1/2) =t-1,i,(t+1)=z

Passo 4

Multiplicando pelos termos de baixo e rearranjando, temos
t-1=iz,(t+1) ;Longrightarrow; t - 1 = iz,t + iz ;Longrightarrow; t,(1-iz)=1+iz ;Longrightarrow; t=1+iz1-iz
Como t=e^2iw, concluímos
e^2iw=1+iz1-iz

Passo 5

Basta agora aplicar o logaritmo complexo e isolar w:
2i,w=ln!gl(1+iz1-izgr) Longrightarrow w=-i2,ln!gl(1+iz1-izgr)
Para chegar exatamente à forma proposta, note que
1+iz1-iz =i(i+z)i(i-z) =i+zi-z
(ao multiplicar numerador e denominador por i). Assim
w=i2,ln!gl(i+z,i-z,gr)
Como w=tg^-1z, obtemos a fórmula pedida.

Resposta

tg^-1z=i2ln!l(i+z,i-z,r).

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