Mostre que
Sugestão: 1. Expresse as funções trigonométrica e hiperbólica em termos de exponenciais.
2. Resolva para a exponencial e então para o expoente.
\operatorname{tg}^{-1} z=\frac{i}{2} \ln \left(\frac{i+z}{i-z}\right),

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\displaystyle \operatorname{tg}^{-1}z=\frac{i}{2}\ln\!\biggl(\frac{i+z}{\,i-z\,}\biggr).
Aqui o conteúdo é a definição da tangente complexa em termos de exponenciais e a inversão dessa relação.

Passo 2

Começamos escrevendo
\tan w em termos de exponenciais. Sabemos que
\sin w=\frac{e^{iw}-e^{-iw}}{2i}, \qquad \cos w=\frac{e^{iw}+e^{-iw}}{2},
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\tan w=\frac{\sin w}{\cos w} =\frac{\frac{e^{iw}-e^{-iw}}{2i}}{\frac{e^{iw}+e^{-iw}}{2}} =\frac{e^{iw}-e^{-iw}}{\,i\,(e^{iw}+e^{-iw})}\,.

Passo 3

Impondo agora \tan w=z, obtemos
\frac{e^{iw}-e^{-iw}}{\,i\,(e^{iw}+e^{-iw})}=z.
Para facilitar, defina t=e^{2iw}. Então e^{iw}=t^{1/2} e e^{-iw}=t^{-1/2}, e a equação vira
\frac{t^{1/2}-t^{-1/2}}{\,i\,(t^{1/2}+t^{-1/2})} =\frac{t-1}{\,i\,(t+1)}=z.

Passo 4

Multiplicando pelos termos de baixo e rearranjando, temos
t-1=iz\,(t+1) \;\Longrightarrow\; t - 1 = iz\,t + iz \;\Longrightarrow\; t\,(1-iz)=1+iz \;\Longrightarrow\; t=\frac{1+iz}{1-iz}.
Como t=e^{2iw}, concluímos
e^{2iw}=\frac{1+iz}{1-iz}.

Passo 5

Basta agora aplicar o logaritmo complexo e isolar w:
2i\,w=\ln\!\biggl(\frac{1+iz}{1-iz}\biggr) \quad\Longrightarrow\quad w=-\frac{i}{2}\,\ln\!\biggl(\frac{1+iz}{1-iz}\biggr).
Para chegar exatamente à forma proposta, note que
\frac{1+iz}{1-iz} =\frac{i(i+z)}{i(i-z)} =\frac{i+z}{i-z}
(ao multiplicar numerador e denominador por i). Assim
w=\frac{i}{2}\,\ln\!\biggl(\frac{i+z}{\,i-z\,}\biggr).
Como w=\operatorname{tg}^{-1}z, obtemos a fórmula pedida.

Resposta

\displaystyle \operatorname{tg}^{-1}z=\frac{i}{2}\ln\!\Bigl(\frac{i+z}{\,i-z\,}\Bigr).

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