6.1.18 Uma onda de luz plana de freqüência angular \omega é representada por
e^{i \omega(t-n x / c)}
Em uma certa substância, o índice real simples de refração n é substituído pela quantidade complexa n-i k. Qual é o efeito de k sobre a onda? A que k corresponde em termos físicos? A generalização de uma quantidade da forma real para a forma complexa ocorre com freqüência na física. Exemplos abrangem desde o módulo complexo de Young de materiais viscoelásticos até o potencial (óptico) complexo da “bola de cristal nublada” do modelo do núcleo atômico.
Passo 1
O enunciado nos dá uma onda plana de luz de frequência angular \omega no vácuo descrita por
e^{i\omega\bigl(t - \tfrac{n x}{c}\bigr)},
onde n é o índice de refração real e c a velocidade da luz. Na substância, substituem n por um índice complexo n - i k. Precisamos descobrir como esse k modifica a onda e qual seu significado físico (que tipo de propriedade material ele descreve).
Passo 2
Fazendo a substituição, a onda fica
E(x,t)\;=\;\exp\!\Bigl[i\omega\bigl(t-\tfrac{(n - i k)\,x}{c}\bigr)\Bigr] \;=\;\exp\!\Bigl[i\omega\bigl(t-\tfrac{n x}{c}\bigr)\Bigr]\;\exp\!\Bigl(-\tfrac{\omega k\,x}{c}\Bigr).
Ou seja, além da fase usual e^{i\omega(t-nx/c)}, surge um fator real
\exp\!\bigl(-\tfrac{\omega k\,x}{c}\bigr)
que faz a amplitude da onda decair exponencialmente ao avançar no meio.
Passo 3
Como a intensidade luminosa é proporcional ao quadrado da amplitude, temos
Em óptica costuma-se definir o coeficiente de absorção (ou extinção)
\alpha \;=\;\frac{2\omega k}{c},
de modo que I(x)\propto e^{-\alpha x}.
Passo 4
Fisicamente, o parâmetro k é chamado de coeficiente de extinção ou coeficiente de absorção (às vezes “índice de extinção”). Ele mede a capacidade da substância de absorver energia do campo eletromagnético: quanto maior k, mais rápido a onda é atenuada.
Resposta
O termo k introduz um decaimento exponencial da amplitude da onda, com fator \exp(-\omega k x/c), e corresponde fisicamente ao coeficiente de absorção (ou extinção) do meio.
Cálculo - George Arfken - Métodos Matemáticos para Engenharia e Física - 7ª Edição - Capítulo 6.1 - Ex. 6.1.18