Mostre que
e
têm mesma cardinalidade que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que os três conjuntos
são equipotentes, isto é, têm a mesma cardinalidade. O conteúdo que vamos usar inclui o conceito de função injetora, função bijetora e o Teorema de Cantor–Schroeder–Bernstein: se há injeções mútuas entre dois conjuntos, então existe bijeção entre eles.
Passo 2
Construímos uma injeção de
em
. Defina
Claramente
e, se
, então
implica
. Logo
é injetora.
Passo 3
Construímos uma injeção de
em
. Basta tomar a função identidade
É imediato que
é injetora e que
.
Passo 4
Pelo Teorema de Cantor–Schroeder–Bernstein, das injeções
e
segue que existe bijeção
Portanto
.
Passo 5
Para mostrar que
, observe que da bijeção
acima (ou qualquer bijeção conhecida) e da bijeção natural
a composição
é bijetora de
em
. Como já temos
, concluímos
Resposta
Os três conjuntos são equipotentes; em particular
isto é, todos têm a mesma cardinalidade do contínuo.