Mostre que [0,1[ e ] 0,1] têm mesma cardinalidade que [0,1].

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que os três conjuntos
[0,1[, ]0,1], [0,1]
são equipotentes, isto é, têm a mesma cardinalidade. O conteúdo que vamos usar inclui o conceito de função injetora, função bijetora e o Teorema de Cantor–Schroeder–Bernstein: se há injeções mútuas entre dois conjuntos, então existe bijeção entre eles.

Passo 2

Construímos uma injeção de [0,1] em [0,1[. Defina
fcolon [0,1]to [0,1[, f(x)=x2
Claramente f(x)in[0,tfrac12]subset[0,1[ e, se f(x1)=f(x2), então x1/2=x2/2 implica x1=x2. Logo f é injetora.

Passo 3

Construímos uma injeção de [0,1[ em [0,1]. Basta tomar a função identidade
gcolon [0,1[to[0,1], g(x)=x
É imediato que g é injetora e que g([0,1[)subset[0,1].

Passo 4

Pelo Teorema de Cantor–Schroeder–Bernstein, das injeções f e g segue que existe bijeção
[0,1];long<=ftrightarrow;[0,1[
Portanto #([0,1])=#([0,1[).

Passo 5

Para mostrar que #(]0,1])=#([0,1]), observe que da bijeção f^-1colon[0,1[to[0,1] acima (ou qualquer bijeção conhecida) e da bijeção natural
phicolon[0,1[to]0,1], phi(x)=1-x,
a composição phicirc f^-1 é bijetora de [0,1[ em ,]0,1]. Como já temos #([0,1[)=#([0,1]), concluímos
#(]0,1])=#([0,1])

Resposta

Os três conjuntos são equipotentes; em particular
#l([0,1]r) =#l([0,1[r) =#l(]0,1]r),
isto é, todos têm a mesma cardinalidade do contínuo.

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