Seja alpha um corte em Q.
Se a in alpha, prove que Q(a) subsetneq alpha(Long<=ftrightarrow Q(a) subset alpha e Q(a) neq alpha).

Passo 1

O enunciado diz que alpha é um corte de Dedekind em Q e que ainalpha. Definimos
Q(a)=,qinQmid q<a
Queremos mostrar que
Q(a)subsetneqalpha,
ou seja, Q(a)subsetalpha e Q(a)neqalpha. Para isso usaremos as duas propriedades principais de um corte: (i) é fechado para baixo e (ii) não tem máximo.

Passo 2

Provar Q(a)subsetalpha.
Seja qinQ(a). Então, por definição, q<a. Como ainalpha e alpha é fechado para baixo (se um número está em alpha, todos os menores também estão), conclui-se que
qinalpha
Logo Q(a)subsetalpha.

Passo 3

Provar Q(a)neq alpha.
Note que ainalpha, mas claramente anotinQ(a) porque em Q(a) só entram os racionais estritamente menores que a. Portanto existe pelo menos um elemento de alpha (que é a) que não está em Q(a), de modo que
Q(a)neqalpha

Resposta

Q(a)subsetneqalpha.

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