Seja
um corte em
.
Se a
, prove que
.
Se a
Passo 1
O enunciado diz que
é um corte de Dedekind em
e que
. Definimos
Queremos mostrar que
ou seja,
e
. Para isso usaremos as duas propriedades principais de um corte: (i) é fechado para baixo e (ii) não tem máximo.
Passo 2
Provar
.
Seja . Então, por definição,
. Como
e
é fechado para baixo (se um número está em
, todos os menores também estão), conclui-se que
Seja
Logo
.
Passo 3
Provar
.
Note que , mas claramente
porque em
só entram os racionais estritamente menores que
. Portanto existe pelo menos um elemento de
(que é
) que não está em
, de modo que
Note que