Mostre que:
1,24999 ldots=1,25

Passo 1

O enunciado pede mostrar que a representação decimal infinita 1,24999ldots coincide com o número 1,25. Para isso vamos usar a ideia de que um decimal periódico é a soma de uma série geométrica.

Passo 2

Primeiro separamos a parte finita da parte infinita:
1,24999ldots = 1,24 + 0,009999ldots
A parte repetitiva é
0,009999ldots = sumn=1^infty 9 cdot 10^-(n+2)

Passo 3

Sabemos que, para |r|<1, a soma da série geométrica sumn=0^infty ar^n é tfraca1-r. Aqui podemos reindexar de modo que o primeiro termo seja a=9cdot10^-3 e a razão r=10^-1. Assim,
sumn=1^infty 9cdot 10^-(n+2) = 9cdot10^-31-10^-1 = 9/10009/10 = 1100 = 0,01

Passo 4

Voltando à decomposição,
1,24999ldots = 1,24 + 0,01 = 1,25

Resposta

1,24999ldots = 1,25

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