Seja mn, 0<mn<1, uma fração irredutível.
a) Determine todos os possíveis valores de n>1 de maneira que a representaçāo decimal desse número seja infinita, com um algarismo no pré-período e dois no período.
b) Tomando para n a menor das soluções encontradas em a), qual o valor de m para o qual o pré-período seja 3?

Resolução:

a) Como há anteperíodo, então mdc(n, 10) neq 1 e portanto n=k cdot 2^alpha cdot 5^beta, onde k neq 2 e k neq 5, k>1 (se k=1, mn seria um número racional decimal) e um dos expoentes é maior que zero (lembrar que o comprimento do pré-período é igual a max alpha, beta ). Observando porém que
1= número de algarismos do pré-período =max alpha, beta úéí
então n=2 k, n=5 k ou n=10 k. Alérn disso
2= número de algarismos do período = ordem de 10, módulo k.
Observando que 10^2 equiv 1(bmod k) implica que k mid 99, entāo k deve ser procurado entre 3,9,11,33 ou 99 . Como 10^1 equiv 1(bmod 3) e 10^1 equiv 1 (mod 9), 10 tem ordem 1 módulo 3 e módulo 9; assim 3 e 9 devem ser descartados. Restam k=11,33 ou 99.
Donde: n=22,66,198,55,165,495,110,330 ou 990.
b) Supondo mn=0, a b c, devemos impor que
m22 & =0,3 b c=3 b c-3990=c+10 b+100 cdot 3-3990= & =297+b c990
o que leva a
m=297+b c45
Como m deve ser inteiro:
b c equiv-297 equiv 18(bmod 45)
Considerando que bc é formado de dois algarismos (b e c), então bc=18 ou bc=63. Daí m=7 ou m=8. Como mn deve ser irredutível, a fraçāo procurada é
722=0,31818 ldots

Passo 1

O enunciado dá uma fração mnin(0,1), irredutível, cuja expansão decimal é não-terminante, com pré-período de 1 algarismo e período de 2 algarismos. Precisamos achar todos os n>1 com essas propriedades (letra a) e, na letra b, tomar o menor desses n e achar m tal que o dígito do pré-período seja 3.

Passo 2

Para uma fração mn irredutível com expansão decimal que tem pré-período de comprimento ell, escreve-se
n = 2^alpha5^betak,
com gcd(k,10)=1 e ell = maxalpha,beta. Como queremos ell=1, segue que maxalpha,beta=1, logo os pares (alpha,beta) possíveis são (1,0), (0,1) ou (1,1). Assim
nin2k,;5k,;10k, k>1,;gcd(k,10)=1

Passo 3

O comprimento do período propriamente dito é a ordem multiplicativa de 10 módulo k, digamos ordk(10). Queremos ordk(10)=2, o que implica
10^2 equiv 1 pmodk,
mas 10notequiv1pmodk. Daí kmid(10^2-1)=99 e kneq1.

Passo 4

Os divisores de 99 coprimos com 10 são 3,9,11,33,99. Testando cada um:
10equiv 1 (mod 3) Rightarrow ordem 1 (descarta)
10equiv 1 (mod 9) Rightarrow ordem 1 (descarta)
10^2 equiv 1 (mod 11) e 10neq 1Rightarrow ordem 2 (aceita)
10^2 equiv 1 (mod 33) e 10neq 1Rightarrow ordem 2 (aceita)
10^2 equiv 1 (mod 99) e 10neq 1Rightarrow ordem 2 (aceita)
Logo
kin11,33,99

Passo 5

Substituindo em nin2k,5k,10k com kin11,33,99, obtemos
nin22,66,198,55,165,495,110,330,990

Passo 6

Para a letra b, escolhe-se o menor n dessa lista, que é 22. Queremos
m22=0,3bc,
isto é, pré-período 3 e período bc de dois algarismos. Usamos a fórmula padrão:
0,3bc = 3cdot10^2 + (10b+c) -310^1(10^2-1) = 297 + 10b+c990
Portanto
m22=297+10b+c990 Longrightarrow m=22,(297+10b+c)990 =297+10b+c45

Passo 7

Para m inteiro, é preciso
297 + (10b+c)equiv 0pmod45 Long<=ftrightarrow 10b+cequiv -297equiv 18pmod45
Como 10b+c varia de 10 a 99, as soluções são 18 e 63. Isso dá
m=297+1845=7 ou m=297+6345=8
Mas gcd(8,22)=2 tornaria a fração não irredu-tível, restando apenas m=7.

Resposta

a) nin22,66,198,55,165,495,110,330,990
b) m=7

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