Seja , uma fração irredutível.
a) Determine todos os possíveis valores de de maneira que a representaçāo decimal desse número seja infinita, com um algarismo no pré-período e dois no período.
b) Tomando para n a menor das soluções encontradas em a), qual o valor de m para o qual o pré-período seja 3?
Resolução:
a) Como há anteperíodo, então e portanto , onde e (se seria um número racional decimal) e um dos expoentes é maior que zero (lembrar que o comprimento do pré-período é igual a max ). Observando porém que
então ou . Alérn disso número de algarismos do período ordem de 10, módulo k.
Observando que implica que , entāo k deve ser procurado entre ou 99 . Como e (mod 9), 10 tem ordem 1 módulo 3 e módulo 9; assim 3 e 9 devem ser descartados. Restam ou 99.
Donde: ou 990.
b) Supondo , devemos impor que
m22 & =0,3 b c=3 b c-3990=c+10 b+100 cdot 3-3990= & =297+b c990
o que leva a
m=297+b c45
Como m deve ser inteiro:
b c equiv-297 equiv 18(bmod 45)
Considerando que bc é formado de dois algarismos (b e c), então bc=18 ou bc=63. Daí m=7 ou m=8. Como mn deve ser irredutível, a fraçāo procurada é
722=0,31818 ldots
Passo 1
O enunciado dá uma fração mnin(0,1), irredutível, cuja expansão decimal é não-terminante, com pré-período de 1 algarismo e período de 2 algarismos. Precisamos achar todos os n>1 com essas propriedades (letra a) e, na letra b, tomar o menor desses n e achar m tal que o dígito do pré-período seja 3.
Passo 2
Para uma fração mn irredutível com expansão decimal que tem pré-período de comprimento ell, escreve-se
n = 2^alpha5^betak,
com gcd(k,10)=1 e ell = maxalpha,beta. Como queremos ell=1, segue que maxalpha,beta=1, logo os pares (alpha,beta) possíveis são (1,0), (0,1) ou (1,1). Assim
nin2k,;5k,;10k, k>1,;gcd(k,10)=1
Passo 3
O comprimento do período propriamente dito é a ordem multiplicativa de 10 módulo k, digamos ordk(10). Queremos ordk(10)=2, o que implica
10^2 equiv 1 pmodk,
mas 10notequiv1pmodk. Daí kmid(10^2-1)=99 e kneq1.
Passo 4
Os divisores de 99 coprimos com 10 são 3,9,11,33,99. Testando cada um: 10equiv 1 (mod 3) Rightarrow ordem 1 (descarta) 10equiv 1 (mod 9) Rightarrow ordem 1 (descarta) 10^2 equiv 1 (mod 11) e 10neq 1Rightarrow ordem 2 (aceita) 10^2 equiv 1 (mod 33) e 10neq 1Rightarrow ordem 2 (aceita) 10^2 equiv 1 (mod 99) e 10neq 1Rightarrow ordem 2 (aceita)
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kin11,33,99
Passo 5
Substituindo em nin2k,5k,10k com kin11,33,99, obtemos
nin22,66,198,55,165,495,110,330,990
Passo 6
Para a letra b, escolhe-se o menor n dessa lista, que é 22. Queremos
m22=0,3bc,
isto é, pré-período 3 e período bc de dois algarismos. Usamos a fórmula padrão: