Mostre que o teorema de Weierstrass não é mais válido se removermos a hipótese de continuidade ou de compacidade do domínio da função
exibindo:
Uma função contínua definida em um subconjunto
fechado mas não-limitado (e, portanto, não-compacto) em
que não possui nem máximo global e nem mínimo global em
.
Uma função contínua definida em um subconjunto
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o Teorema de Weierstrass (que garante existência de máximo e mínimo para funções contínuas em domínios compactos) falha se o domínio deixar de ser compacto. Para isso, precisamos apresentar um conjunto
que seja fechado mas não limitado (logo não compacto) e uma função contínua
que não atinja nem máximo nem mínimo em
.
Passo 2
Definimos
Este é o eixo-
em
.
-
é fechado porque
é fechado e , onde é contínua. -
não é limitado pois para cada existem pontos com . Logo não é compacto.
Passo 3
Definimos a função
Como
é simplesmente a restrição à reta
da projeção contínua
, segue que
é contínua em
.
Passo 4
Para cada real
existe
com
, então
ou seja, não há ponto de
onde
alcance um valor máximo finito. Analogamente, para cada real
existe
com
, de modo que
não havendo ponto de mínimo.
Resposta
Tomando
temos
fechado e não compacto em
e
contínua em
sem máximo nem mínimo global. Isso mostra que, sem a hipótese de compacidade do domínio, o Teorema de Weierstrass deixa de valer.