Mostre que o teorema de Weierstrass não é mais válido se removermos a hipótese de continuidade ou de compacidade do domínio da função f exibindo:
Uma função contínua definida em um subconjunto F fechado mas não-limitado (e, portanto, não-compacto) em R^2 que não possui nem máximo global e nem mínimo global em F.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o Teorema de Weierstrass (que garante existência de máximo e mínimo para funções contínuas em domínios compactos) falha se o domínio deixar de ser compacto. Para isso, precisamos apresentar um conjunto FsubsetR^2 que seja fechado mas não limitado (logo não compacto) e uma função contínua fcolon FtoR que não atinja nem máximo nem mínimo em F.

Passo 2

Definimos
F = (x,y)inR^2 : y = 0
Este é o eixo- x em R^2.
  1. F é fechado porque
    0subsetR é fechado e F = piy^-1(0), onde piy(x,y)=y é contínua.
  2. F não é limitado pois para cada R>0 existem pontos (x,0)in F com |x|>R. Logo F não é compacto.

Passo 3

Definimos a função
fcolon F to R, f(x,y) = x
Como f é simplesmente a restrição à reta y=0 da projeção contínua (x,y)mapsto x, segue que f é contínua em F.

Passo 4

Para cada real M existe (x,0)in F com x>M, então
sup(x,y)in F f(x,y) = +infty,
ou seja, não há ponto de F onde f alcance um valor máximo finito. Analogamente, para cada real m existe (x,0)in F com x<m, de modo que
inf(x,y)in F f(x,y) = -infty,
não havendo ponto de mínimo.

Resposta

Tomando
F = (x,0)colon xinR, f(x,y)=x,
temos F fechado e não compacto em R^2 e f contínua em F sem máximo nem mínimo global. Isso mostra que, sem a hipótese de compacidade do domínio, o Teorema de Weierstrass deixa de valer.

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