Mostre que o teorema de Weierstrass não é mais válido se removermos a hipótese de continuidade ou de compacidade do domínio da função f exibindo:
Uma função descontínua definida em um subconjunto K compacto em R^2 que não possui nem máximo global e nem mínimo global em K.

Passo 1

O enunciado pede um contra-exemplo que mostre que, sem a hipótese de continuidade, o Teorema de Weierstrass pode falhar mesmo em domínio compacto. Em outras palavras, queremos exibir um conjunto KsubsetR^2 que seja compacto e uma função fcolon KtoR que seja descontínua e não tenha nem máximo nem mínimo em K.

Passo 2

Definimos o conjunto compacto
K=(x,0)inR^2 : 0<= x<=1
Claramente, K é homeomorfo ao segmento [0,1] em R, logo é fechado e limitado, isto é, compacto.

Passo 3

Agora definimos a função
Note que em todos os pontos interiores , temos ; mas nos extremos e atribuímos o valor .

Passo 4

Verificamos a descontinuidade de f.
  1. Em (0,0), limxto0^+f(x,0)=limxto0^+x=0, mas f(0,0)=tfrac12.
  2. Em (1,0), limxto1^-f(x,0)=limxto1^-x=1, mas f(1,0)=tfrac12.
    Logo f é descontínua em ambos os extremos do segmento.

Passo 5

Calculamos o ínfimo e o supremo de f em K:
  • Para 0<x<1, f(x,0)=x varia entre números arbitrariamente próximos de 0 e de 1.
  • Assim
inf(x,0)in Kf(x,0) =inf0<x<1x=0, sup(x,0)in Kf(x,0) =sup0<x<1x=1
Contudo, não há nenhum ponto em K onde f(x,0)=0, nem onde f(x,0)=1. Em (0,0) e em (1,0) o valor é tfrac12, e para 0<x<1 o valor de f nunca atinge exatamente 0 nem 1. Portanto f não possui nem mínimo global nem máximo global em K.

Resposta

Tomando
K=(x,0)colon0<= x<=1, f(x,0)= x,&0<x<1, 12,&xin0,1,
vemos que K é compacto, f é descontínua nos extremos e não existe (x,0)in K com f(x,0)=0 (infimum) nem com f(x,0)=1 (supremum). Assim f tem domínio compacto, é descontínua e não possui nem mínimo nem máximo globais.

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