Mostre que o teorema de Weierstrass não é mais válido se removermos a hipótese de continuidade ou de compacidade do domínio da função
exibindo:
Uma função descontínua definida em um subconjunto
compacto em
que não possui nem máximo global e nem mínimo global em
.
Uma função descontínua definida em um subconjunto
Passo 1
O enunciado pede um contra-exemplo que mostre que, sem a hipótese de continuidade, o Teorema de Weierstrass pode falhar mesmo em domínio compacto. Em outras palavras, queremos exibir um conjunto
que seja compacto e uma função
que seja descontínua e não tenha nem máximo nem mínimo em
.
Passo 2
Definimos o conjunto compacto
Claramente,
é homeomorfo ao segmento
em
, logo é fechado e limitado, isto é, compacto.
Passo 3
Agora definimos a função
Note que em todos os pontos interiores , temos
; mas nos extremos
e
atribuímos o valor
.
Passo 4
Verificamos a descontinuidade de
.
- Em
, , mas . - Em
, , mas .
Logoé descontínua em ambos os extremos do segmento.
Passo 5
Calculamos o ínfimo e o supremo de
em
:
- Para
, varia entre números arbitrariamente próximos de e de . - Assim
Contudo, não há nenhum ponto em
onde
, nem onde
. Em
e em
o valor é
, e para
o valor de
nunca atinge exatamente
nem
. Portanto
não possui nem mínimo global nem máximo global em
.
Resposta
Tomando
vemos que
é compacto,
é descontínua nos extremos e não existe
com
(infimum) nem com
(supremum). Assim
tem domínio compacto, é descontínua e não possui nem mínimo nem máximo globais.