Represente geometricamente cada um dos subconjuntos de R^2 abaixo e diga se ele é um conjunto fechado ou não, aberto ou não, limitado ou não, compacto ou não. Determine também o interior e a fronteira de cada um destes subconjuntos.
(x, y) in R^2 mid x=0 ou y=0.

Passo 1

O enunciado pede para representarmos geometricamente o conjunto
S = (x,y)inR^2 mid x=0 ou y=0,
e então dizer se S é fechado, aberto, limitado, compacto, além de determinar int(S) e partial S. O conteúdo aqui é topologia em R^2: definição de aberto, fechado, interior, fronteira, limite e compacidade.

Passo 2

Geometricamente, S é a união do eixo y (onde x=0) com o eixo x (onde y=0). Ou seja, é o “ +” formado pelos dois eixos coordenados em todo o plano.

Passo 3

Cada um dos eixos é uma reta em R^2. Retas são fechadas em R^2 (são núcleos de funções contínuas xmapsto x ou ymapsto y). A união de conjuntos fechados também é fechada. Logo,
S é fechado é

Passo 4

Para ser aberto, todo ponto de S teria de possuir uma bola aberta contida em S. Mas qualquer bola centrada num ponto do eixo x ou do eixo y ultrapassa o outro quadrante, caindo num ponto com xneq0 e yneq0. Logo, não existe bola positiva contida em S. Assim,
S não é aberto ãé

Passo 5

O conjunto S se estende indefinidamente em ambas as direções dos eixos, portanto não cabe em nenhum círculo de raio finito. Assim,
S não é limitado ãé

Passo 6

Um conjunto é compacto em R^2 se, e somente se, for fechado e limitado (Teorema de Heine–Borel). Aqui S é fechado mas não é limitado, logo
S não é compacto ãé

Passo 7

O interior int(S) é o maior aberto contido em S. Como vimos, não há nenhum ponto de S que admita bola aberta inteira em S. Logo,
int(S)=varnothing

Passo 8

A fronteira partial S é dada por
partial S = S setminus int(S)
Como S é fechado, S=S, e int(S)=varnothing. Portanto,
partial S = S

Resposta

O conjunto S é fechado, não é aberto, não é limitado e não é compacto.
int(S)=varnothing e partial S = S.

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