Represente geometricamente cada um dos subconjuntos de abaixo e diga se ele é um conjunto fechado ou não, aberto ou não, limitado ou não, compacto ou não. Determine também o interior e a fronteira de cada um destes subconjuntos. ou .
Passo 1
O enunciado pede para representarmos geometricamente o conjunto
e então dizer se é fechado, aberto, limitado, compacto, além de determinar e . O conteúdo aqui é topologia em : definição de aberto, fechado, interior, fronteira, limite e compacidade.
Passo 2
Geometricamente, é a união do eixo (onde ) com o eixo (onde ). Ou seja, é o “” formado pelos dois eixos coordenados em todo o plano.
Passo 3
Cada um dos eixos é uma reta em . Retas são fechadas em (são núcleos de funções contínuas ou ). A união de conjuntos fechados também é fechada. Logo,
Passo 4
Para ser aberto, todo ponto de teria de possuir uma bola aberta contida em . Mas qualquer bola centrada num ponto do eixo ou do eixo ultrapassa o outro quadrante, caindo num ponto com e . Logo, não existe bola positiva contida em . Assim,
Passo 5
O conjunto se estende indefinidamente em ambas as direções dos eixos, portanto não cabe em nenhum círculo de raio finito. Assim,
Passo 6
Um conjunto é compacto em se, e somente se, for fechado e limitado (Teorema de Heine–Borel). Aqui é fechado mas não é limitado, logo
Passo 7
O interior é o maior aberto contido em . Como vimos, não há nenhum ponto de que admita bola aberta inteira em . Logo,
Passo 8
A fronteira é dada por
Como S é fechado, S=S, e int(S)=varnothing. Portanto,
partial S = S
Resposta
O conjunto S é fechado, não é aberto, não é limitado e não é compacto. int(S)=varnothing e partial S = S.
Cálculo - Humberto J. Bortolossi - Cálculo de Várias Variáveis: Uma Introdução à Teoria da Otimização - 1ª Edição - Capítulo 4.4.4 - Ex. 9.e