Represente geometricamente cada um dos subconjuntos de abaixo e diga se ele é um conjunto fechado ou não, aberto ou não, limitado ou não, compacto ou não. Determine também o interior e a fronteira de cada um destes subconjuntos. e .
Passo 1
O enunciado define o subconjunto
O conteúdo é topologia em : queremos representação geométrica, depois verificar se é aberto, fechado, limitado, compacto e determinar e .
Passo 2
Geometricamente, é a semirreta vertical partindo da origem para cima sobre o eixo . Em outras palavras, é o “eixo ” mas somente com .
Passo 3
Para ver se é fechado e/ou aberto note que
A condição define uma reta fechada em .
A condição define um semiplano fechado em .
Logo
é interseção de fechados, portanto é fechado.
Não é aberto porque qualquer bola em torno de um ponto de vai conter pontos com , saindo de .
Passo 4
Quanto a ser limitado, escapa ao infinito em direção a , logo não é limitado.
Em , por Teorema de Heine–Borel, compacto fechado e limitado; aqui é fechado mas não é limitado, logo não é compacto.
Passo 5
O interior de em é vazio, pois não existe bola em centrada em ponto de contida em . Assim
A fronteira de é
Resposta
Geometricamente, S é a semirreta vertical no eixo y para y>=0.
– Fechado: sim.
– Aberto: não.
– Limitado: não.
– Compacto: não.
– int(S)=emptyset.
– partial S=S.
Cálculo - Humberto J. Bortolossi - Cálculo de Várias Variáveis: Uma Introdução à Teoria da Otimização - 1ª Edição - Capítulo 4.4.4 - Ex. 9.f