Represente geometricamente cada um dos subconjuntos de R^2 abaixo e diga se ele é um conjunto fechado ou não, aberto ou não, limitado ou não, compacto ou não. Determine também o interior e a fronteira de cada um destes subconjuntos.
(x, y) in R^2 mid x=0 e y >= 0.

Passo 1

O enunciado define o subconjunto
S=(x,y)inR^2mid x=0 e y>=0
O conteúdo é topologia em R^2: queremos representação geométrica, depois verificar se S é aberto, fechado, limitado, compacto e determinar int(S) e partial S.

Passo 2

Geometricamente, S é a semirreta vertical partindo da origem para cima sobre o eixo y. Em outras palavras, é o “eixo y” mas somente com y>=0.

Passo 3

Para ver se S é fechado e/ou aberto note que
  1. A condição x=0 define uma reta fechada em R^2.
  2. A condição y>=0 define um semiplano fechado em R^2.
    Logo
S=(x=0)cap(y>=0)
é interseção de fechados, portanto é fechado.
Não é aberto porque qualquer bola em torno de um ponto de S vai conter pontos com xneq0, saindo de S.

Passo 4

Quanto a ser limitado, S escapa ao infinito em direção a yto+infty, logo não é limitado.
Em R^2, por Teorema de Heine–Borel, compacto iff fechado e limitado; aqui S é fechado mas não é limitado, logo não é compacto.

Passo 5

O interior de S em R^2 é vazio, pois não existe bola em R^2 centrada em ponto de S contida em S. Assim
int(S)=emptyset
A fronteira de S é
partial S=Ssetminusint(S) =Ssetminusemptyset=S

Resposta

Geometricamente, S é a semirreta vertical no eixo y para y>=0.
– Fechado: sim.
– Aberto: não.
– Limitado: não.
– Compacto: não.
int(S)=emptyset.
partial S=S.

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