Mostre que, para todo inteiro n>1, vale a relação:
(1+1n+1)^n+1>(1+1n)^n
Sugestäo: Usar a desigualdade de Bernoulli para a=-1(n+1)^2 e expoente do primeiro membro igual a n+1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro n>1,\r
l(1+tfrac1n+1r)^n+1>l(1+tfrac1nr)^n
Para isso vamos usar a desigualdade de Bernoulli no caso em que o incremento é negativo.

Passo 2

Escolhemos
a=-1(n+1)^2, r=n+1,
de modo que 1+a=1-tfrac1(n+1)^2 e r>=1, a>=-1. A desigualdade de Bernoulli diz então
(1+a)^r>=1+r,a

Passo 3

Aplicando com os valores escolhidos obtemos
1+a =1-1(n+1)^2 =n(n+2)(n+1)^2,
logo
gl(n(n+2)(n+1)^2gr)^n+1 >=1+(n+1)l(-1(n+1)^2r) =1-1n+1 =nn+1

Passo 4

Reescrevendo o lado esquerdo como produto de fatores:
n(n+2)(n+1)^2 =nn+1,n+2n+1 =nn+1l(1+1n+1r),
temos
gl[nn+1l(1+1n+1r)gr]^n+1 =l(nn+1r)^n+1 l(1+1n+1r)^n+1 >=nn+1

Passo 5

Como tfracnn+1>0, podemos dividir ambos os lados por l(tfracnn+1r)^n+1, obtendo
l(1+1n+1r)^n+1 >=tfracnn+1l(tfracnn+1r)^n+1 =l(nn+1r)^-n =l(n+1nr)^n =l(1+1nr)^n
Como aneq0, a desigualdade é estrita.

Resposta

l(1+tfrac1n+1r)^n+1>l(1+tfrac1nr)^n para todo inteiro n>1

Exercícios de Livros Relacionados