Prove que são irracionais:
e
.
Passo 1
O que queremos provar é que
e
não podem ser números racionais. Para isso, vamos usar identidades do triplo ângulo (para seno e para cosseno) de modo a obter polinômios com coeficientes inteiros que esses números satisfazem, e em seguida aplicar o teste das raízes racionais para concluir que não existem raízes racionais.
Passo 2
Prova de que
é irracional. Seja
Pela fórmula do triplo ângulo para o seno,
tomando
obtemos
. Multiplicando por 2:
Ao elevar ao quadrado,
logo
Esse é um polinômio com coeficientes inteiros. Pelo teste das raízes racionais, qualquer raiz racional
(em forma irredutível) deve satisfazer
e
. Os únicos candidatos em
são
, etc. Basta testar cada um e verificar que nenhum anula o polinômio. Concluímos que
, ou seja,
é irracional.
Passo 3
Prova de que
é irracional. Observe que
Defina
Usamos agora a fórmula do triplo ângulo para o cosseno,
com
. Como
, temos
ou, ao multiplicar por 2,
Novamente é um polinômio com coeficientes inteiros. O teste das raízes racionais impõe que qualquer raiz racional
deva ter
e
, ou seja, candidatos em
. Testando-se cada um, nenhum satisfaz a equação, logo
. Portanto
é irracional.