Prove que são irracionais: sen 20^circ e sen 50^circ.

Passo 1

O que queremos provar é que sin20^circ e sin50^circ não podem ser números racionais. Para isso, vamos usar identidades do triplo ângulo (para seno e para cosseno) de modo a obter polinômios com coeficientes inteiros que esses números satisfazem, e em seguida aplicar o teste das raízes racionais para concluir que não existem raízes racionais.

Passo 2

Prova de que sin20^circ é irracional. Seja
x = sin20^circ
Pela fórmula do triplo ângulo para o seno,
sin3theta = 3sintheta - 4sin^3theta,
tomando theta = 20^circ obtemos sin60^circ = raiz32 = 3x - 4x^3. Multiplicando por 2:
raiz3 = 6x - 8x^3
Ao elevar ao quadrado,
3 = (6x - 8x^3)^2 = 36x^2 - 96x^4 + 64x^6,
logo
64x^6 - 96x^4 + 36x^2 - 3 = 0
Esse é um polinômio com coeficientes inteiros. Pelo teste das raízes racionais, qualquer raiz racional p/q (em forma irredutível) deve satisfazer pmid -3 e qmid 64. Os únicos candidatos em [-1,1] são
pm1,pm12,pm14,pm18,pm34,pm38, etc. Basta testar cada um e verificar que nenhum anula o polinômio. Concluímos que xnotin Q, ou seja, sin20^circ é irracional.

Passo 3

Prova de que sin50^circ é irracional. Observe que
sin50^circ = cos40^circ
Defina
d = cos40^circ
Usamos agora a fórmula do triplo ângulo para o cosseno,
cos3theta = 4cos^3theta - 3costheta,
com theta = 40^circ. Como cos120^circ = -tfrac12, temos
-tfrac12 = 4d^3 - 3d
ou, ao multiplicar por 2,
8d^3 - 6d + 1 = 0
Novamente é um polinômio com coeficientes inteiros. O teste das raízes racionais impõe que qualquer raiz racional p/q deva ter pmid 1 e qmid 8, ou seja, candidatos em pm1,pm12,pm14,pm18. Testando-se cada um, nenhum satisfaz a equação, logo dnotin Q. Portanto sin50^circ é irracional.

Resposta

sin20^circ e sin50^circ são irracionais.

Exercícios de Livros Relacionados