Mostre que para todo
o número
está em
e que seu algarismo das unidades nâo pode ser 2, nem 4, nem 7 e nem 9.
Sugestão: Se o algarismo das unidades de
fosse um desses, o de
seria 4 ou 8 . Mostre que isso não é possível.
Passo 1
O enunciado quer que a gente mostre duas coisas:
- Para todo
, o número
é inteiro (isto é,
).
- O algarismo das unidades de
não pode ser nenhum dos dígitos do conjunto .
Vamos usar o fato de que entre dois números consecutivos um é par (para a primeira parte) e argumentar por restos módulo
(para a segunda parte).
Passo 2
Para ver que
é inteiro, basta notar que
e
são consecutivos, então pelo menos um deles é par. Logo o produto
é divisível por
, e
é um número natural.
Passo 3
Suponha, por absurdo, que o algarismo das unidades de
seja algum elemento de
. Chamando esse algarismo de
, teríamos
e então o algarismo das unidades de
seria o algarismo das unidades de
. Como
vemos que esse algarismo seria sempre
ou
.
Passo 4
Agora mostramos que
nunca pode terminar em
nem em
. Basta analisar o último dígito de
(isto é,
módulo
):
- Se o último dígito de
é , então acaba em . - Se é
, então acaba em . - Se é
, então acaba em . - Se é
, então acaba em (termina em ). - Se é
, então acaba em (termina em ). - Se é
, então acaba em (termina em ). - Se é
, então acaba em (termina em ). - Se é
, então acaba em (termina em ). - Se é
, então acaba em (termina em ). - Se é
, então acaba em .
Portanto, o único algarismo que
pode ter na casa das unidades é
,
ou
. Nunca
nem
.
Passo 5
Chegamos a uma contradição com a hipótese de que
terminaria em
ou
. Logo o algarismo das unidades de
não pode ser nenhum de
.
Resposta
Para todo
, o número
é um natural, e o seu algarismo das unidades não pode ser
,
,
nem
.