Mostre que para todo n in N o número n(n+1)2 está em N e que seu algarismo das unidades nâo pode ser 2, nem 4, nem 7 e nem 9.
Sugestão: Se o algarismo das unidades de n(n+1)2 fosse um desses, o de n(n+1) seria 4 ou 8 . Mostre que isso não é possível.

Passo 1

O enunciado quer que a gente mostre duas coisas:
  1. Para todo ninN, o número
T(n)=n(n+1)2
é inteiro (isto é, T(n)inN).
  1. O algarismo das unidades de T(n) não pode ser nenhum dos dígitos do conjunto 2,4,7,9.
Vamos usar o fato de que entre dois números consecutivos um é par (para a primeira parte) e argumentar por restos módulo 10 (para a segunda parte).

Passo 2

Para ver que tfracn(n+1)2 é inteiro, basta notar que n e n+1 são consecutivos, então pelo menos um deles é par. Logo o produto n(n+1) é divisível por 2, e
T(n)=n(n+1)2
é um número natural.

Passo 3

Suponha, por absurdo, que o algarismo das unidades de T(n) seja algum elemento de 2,4,7,9. Chamando esse algarismo de d, teríamos
din2,4,7,9,
e então o algarismo das unidades de
n(n+1)=2,T(n)
seria o algarismo das unidades de 2d. Como
2cdot2=4, 2cdot4=8, 2cdot7=14, 2cdot9=18,
vemos que esse algarismo seria sempre 4 ou 8.

Passo 4

Agora mostramos que n(n+1) nunca pode terminar em 4 nem em 8. Basta analisar o último dígito de n (isto é, n módulo 10):
  • Se o último dígito de n é 0, então n(n+1) acaba em 0cdot1=0.
  • Se é 1, então acaba em 1cdot2=2.
  • Se é 2, então acaba em 2cdot3=6.
  • Se é 3, então acaba em 3cdot4=12 (termina em 2).
  • Se é 4, então acaba em 4cdot5=20 (termina em 0).
  • Se é 5, então acaba em 5cdot6=30 (termina em 0).
  • Se é 6, então acaba em 6cdot7=42 (termina em 2).
  • Se é 7, então acaba em 7cdot8=56 (termina em 6).
  • Se é 8, então acaba em 8cdot9=72 (termina em 2).
  • Se é 9, então acaba em 9cdot0=0.
Portanto, o único algarismo que n(n+1) pode ter na casa das unidades é 0, 2 ou 6. Nunca 4 nem 8.

Passo 5

Chegamos a uma contradição com a hipótese de que n(n+1) terminaria em 4 ou 8. Logo o algarismo das unidades de T(n)=tfracn(n+1)2 não pode ser nenhum de 2,4,7,9.

Resposta

Para todo ninN, o número tfracn(n+1)2 é um natural, e o seu algarismo das unidades não pode ser 2, 4, 7 nem 9.

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