Mostre que não são perfeitos os números:
2^15 cdot(2^16-1)

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que o número
2^15,l(2^16-1r)
não é um número perfeito.
O assunto envolve a teoria dos números perfeitos pares e a caracterização via números de Mersenne.

Passo 2

Pela classificação de Euclides–Euler, um inteiro par n é perfeito se, e somente se, pode ser escrito na forma
n = 2^p-1,l(2^p - 1r)
onde 2^p - 1 é primo (um primo de Mersenne).

Passo 3

Aqui temos p=16. Vamos verificar se
2^16 - 1 = 65535
é primo ou não. Note que
2^16 = 65536 equiv 1 pmod3,
logo
2^16-1 equiv 0 pmod3,
isto é, 3 divide 65535. De fato,
65535 = 3 times 21845,
portanto 2^16-1 não é primo.

Passo 4

Como a condição necessária de Euclides–Euler (isto é, 2^p-1 ser primo) não se satisfaz quando p=16, concluímos que
2^15,l(2^16-1r)
não é um número perfeito.

Resposta

O número 2^15(2^16-1) não é perfeito.

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