Seja m um inteiro.
a) Mostre que o resto da divisāo de m^2 por 3 é 0 ou 1 .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para qualquer inteiro m, ao dividir m^2 por 3 o resto só pode ser 0 ou 1. O conteúdo envolvido é o algoritmo da divisão (ou congruências módulo 3).

Passo 2

Pelo algoritmo da divisão, todo inteiro m pode ser escrito em uma destas três formas, com q inteiro:
m = 3q, m = 3q+1, m = 3q+2
Basta analisar cada caso e ver qual é o resto de m^2 ao dividir por 3.

Passo 3

Caso m = 3q.
Então
m^2 = (3q)^2 = 9q^2 = 3cdot(3q^2),
que é múltiplo de 3. Logo o resto é 0.

Passo 4

Caso m = 3q+1.
Então
m^2 = (3q+1)^2 = 9q^2 + 6q + 1 = 3cdot(3q^2 + 2q) + 1,
portanto o resto é 1.

Passo 5

Caso m = 3q+2.
Então
m^2 = (3q+2)^2 = 9q^2 +12q +4 = 9q^2 +12q +3 +1 = 3cdot(3q^2+4q+1)+1,
logo o resto também é 1.

Resposta

O resto da divisão de m^2 por 3 é sempre 0 ou 1.

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