Sejam m, n inteiros quaisquer. Mostre que:
b) m+n é ímpar se, e somente se, m-n é ímpar

Passo 1

O enunciado pede para provar que, dados quaisquer inteiros m e n, o número m+n é ímpar se, e somente se, m-n é ímpar. O conteúdo envolvido é a definição de paridade de inteiros: dizemos que um inteiro k é ímpar se existe rinZ tal que
k = 2r + 1,
e é par se existe sinZ tal que
k = 2s
Usaremos essas definições para as duas implicações do “se, e somente se”.

Passo 2

(“ Rightarrow”) Suponha que m + n seja ímpar. Então, por definição, existe kinZ tal que
m + n = 2k + 1
Logo,
m - n = (m + n) - 2n = (2k + 1) - 2n = 2l(k - nr) + 1
Como k-n é inteiro, segue que m - n tem a forma 2(inteiro)+1, isto é, m - n é ímpar.

Passo 3

(“ Leftarrow”) Suponha agora que m - n seja ímpar. Então existe kinZ tal que
m - n = 2k + 1
Daí,
m + n = (m - n) + 2n = (2k + 1) + 2n = 2l(k + nr) + 1
Como k+n é inteiro, concluímos que m + n é ímpar.

Resposta

Mostrou-se as duas implicações, logo m+n é ímpar se, e somente se, m-n é ímpar.

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