Sejam
inteiros quaisquer. Mostre que:
b)
é ímpar se, e somente se,
é ímpar
b)
Passo 1
O enunciado pede para provar que, dados quaisquer inteiros
e
, o número
é ímpar se, e somente se,
é ímpar. O conteúdo envolvido é a definição de paridade de inteiros: dizemos que um inteiro
é ímpar se existe
tal que
e é par se existe
tal que
Usaremos essas definições para as duas implicações do “se, e somente se”.
Passo 2
(“
”) Suponha que
seja ímpar. Então, por definição, existe
tal que
Logo,
Como
é inteiro, segue que
tem a forma
, isto é,
é ímpar.
Passo 3
(“
”) Suponha agora que
seja ímpar. Então existe
tal que
Daí,
Como
é inteiro, concluímos que
é ímpar.
Resposta
Mostrou-se as duas implicações, logo
é ímpar se, e somente se,
é ímpar.