Seja a um resto quadrático do número primo ímpar p. Mostre que:
a)
.
b)
.
Sugestão: Use o fato de que
e o critério de Euler.
a)
b)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, dado um primo ímpar
e um
que é resto quadrático módulo
, que
- se
então é resto quadrático módulo , - se
então é não-resto quadrático módulo .
Vamos usar que, o símbolo de Legendre e o critério de Euler.
Passo 2
Como
, temos
Passo 3
Pela multiplicatividade do símbolo de Legendre,
e como
é resto quadrático,
. Logo
Passo 4
Pelo critério de Euler para
, vale
Se
, então
é par e
.
Se , então
é ímpar e
.
Se
Resposta
a) Se
, então
,
ou seja, .
ou seja,
b) Se
, então
,
ou seja, .
ou seja,