Seja a um resto quadrático do número primo ímpar p. Mostre que:
a) p equiv 1(bmod 4) Rightarrow(p-a) R p.
b) p equiv 3(bmod 4) Rightarrow(p-a) Np.
Sugestão: Use o fato de que p-a equiv-a(bmod p) e o critério de Euler.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, dado um primo ímpar p e um a que é resto quadrático módulo p, que
  • se pequiv1pmod4 então (p-a) é resto quadrático módulo p,
  • se pequiv3pmod4 então (p-a) é não-resto quadrático módulo p.
    Vamos usar que p-aequiv -apmod p, o símbolo de Legendre e o critério de Euler.

Passo 2

Como p-aequiv -apmod p, temos
(p-ap) = (-ap)

Passo 3

Pela multiplicatividade do símbolo de Legendre,
(-ap) = (-1p), (ap)
e como a é resto quadrático, ,(a/p)=1. Logo
(p-ap) = (-1p)

Passo 4

Pelo critério de Euler para -1, vale
(-1p) = (-1)^p-12
Se pequiv1pmod4, então tfracp-12 é par e (-1)^(p-1)/2=1.
Se pequiv3pmod4, então tfracp-12 é ímpar e (-1)^(p-1)/2=-1.

Resposta

a) Se pequiv1pmod4, então
(p-ap)=1,
ou seja, (p-a)in Rp.
b) Se pequiv3pmod4, então
(p-ap)=-1,
ou seja, (p-a)in Np.

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