3.2.25 Mostre que o traço (A B C)=traço(C B A)̧ se qualquer das três matrizes comutam.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
tr(ABC)=tr(CBA)
sempre que qualquer par das matrizes A,B,C comute. O conteúdo usado será a propriedade básica do traço e sua invariância por permutações cíclicas.

Passo 2

Recordemos que, para quaisquer matrizes X e Y tais que os produtos existam, vale
tr(XY)=tr(YX)
Dessa forma, para três matrizes temos também permutação cíclica:
tr(ABC) =trl((AB)Cr) =trl(C(AB)r) =tr(CAB),
e em seguida
tr(CAB) =trl((CA)Br) =trl(B(CA)r) =tr(BCA)

Passo 3

Caso A e B comutem ( AB=BA):
CAB=CBA Longrightarrow tr(ABC)=tr(CAB)=tr(CBA)

Passo 4

Caso B e C comutem ( BC=CB):
BCA=CBA Longrightarrow tr(ABC)=tr(BCA)=tr(CBA)

Passo 5

Caso A e C comutem ( AC=CA):
CAB=(CA)B=(AC)B=ACB Longrightarrow tr(ABC)=tr(CAB)=tr(ACB)
Mas pela permutação cíclica em três fatores tem-se
tr(ACB)=tr(CBA),
logo de novo tr(ABC)=tr(CBA).

Resposta

tr(ABC)=tr(CBA).

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