3.2.25 Mostre que o traço
se qualquer das três matrizes comutam.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
sempre que qualquer par das matrizes comute. O conteúdo usado será a propriedade básica do traço e sua invariância por permutações cíclicas.
sempre que qualquer par das matrizes
Passo 2
Recordemos que, para quaisquer matrizes
e
tais que os produtos existam, vale
Dessa forma, para três matrizes temos também permutação cíclica:
e em seguida
Passo 3
Caso
e
comutem (
):
Passo 4
Caso
e
comutem (
):
Passo 5
Caso
e
comutem (
):
Mas pela permutação cíclica em três fatores tem-se
logo de novo
.