3.2.25 Mostre que o traço (A B C)=\operatorname{traço}(C B A)̧ se qualquer das três matrizes comutam.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\operatorname{tr}(ABC)=\operatorname{tr}(CBA)
sempre que qualquer par das matrizes A,B,C comute. O conteúdo usado será a propriedade básica do traço e sua invariância por permutações cíclicas.

Passo 2

Recordemos que, para quaisquer matrizes X e Y tais que os produtos existam, vale
\operatorname{tr}(XY)=\operatorname{tr}(YX).
Dessa forma, para três matrizes temos também permutação cíclica:
\operatorname{tr}(ABC) =\operatorname{tr}\bigl((AB)C\bigr) =\operatorname{tr}\bigl(C(AB)\bigr) =\operatorname{tr}(CAB),
e em seguida
\operatorname{tr}(CAB) =\operatorname{tr}\bigl((CA)B\bigr) =\operatorname{tr}\bigl(B(CA)\bigr) =\operatorname{tr}(BCA).

Passo 3

Caso A e B comutem ( AB=BA):
CAB=CBA \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{tr}(ABC)=\operatorname{tr}(CAB)=\operatorname{tr}(CBA).

Passo 4

Caso B e C comutem ( BC=CB):
BCA=CBA \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{tr}(ABC)=\operatorname{tr}(BCA)=\operatorname{tr}(CBA).

Passo 5

Caso A e C comutem ( AC=CA):
CAB=(CA)B=(AC)B=ACB \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{tr}(ABC)=\operatorname{tr}(CAB)=\operatorname{tr}(ACB).
Mas pela permutação cíclica em três fatores tem-se
\operatorname{tr}(ACB)=\operatorname{tr}(CBA),
logo de novo \operatorname{tr}(ABC)=\operatorname{tr}(CBA).

Resposta

\operatorname{tr}(ABC)=\operatorname{tr}(CBA).

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