3.2.34 Ache as matrizes \mathrm{M}_{L}, tais que o produto \mathrm{M}_{L} \mathrm{~A} será A , porém com:
a i-ésima e a m-ésima linhas permutadas \left(a_{i j} \rightarrow a_{m j}, a_{m j} \rightarrow a_{i j}, j=1,2,3, \ldots\right).

Passo 1

O enunciado pede a matriz M_L de tamanho m\times m tal que, multiplicando-a à esquerda de uma matriz A (que tem m linhas), o efeito seja simplesmente trocar a i-ésima linha com a m-ésima linha de A. O conteúdo é operação elementar de permutar duas linhas via matriz elementar.

Passo 2

Lembramos que toda operação de trocar duas linhas em A corresponde a multiplicar A pela esquerda por uma matriz obtida da matriz identidade I_m trocando-se as mesmas linhas em I_m. Logo, basta construir M_L como a identidade de ordem m, exceto que suas linhas i e m estão permutadas.

Passo 3

Denotando por (M_L)_{k\ell}\) o elemento da linha \(k\) e coluna \(\ell\) de \(M_L\), temos \[(M_L)_{k\ell} = \begin{cases} 1, & \text{se }k=\ell\neq i,m,\\\\ 1, & \text{se }k=i\text{ e }\ell=m,\\\\ 1, & \text{se }k=m\text{ e }\ell=i,\\\\ 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}
Isto garante que a multiplicação M_L A\] deixa todas as linhas de \(A iguais, exceto que as linhas i e m foram trocadas.

Resposta

A matriz M_L é a identidade de ordem m com as linhas i e m trocadas, cujos elementos são
(M_L)_{k\ell} = \begin{cases} 1, & k=\ell\neq i,m,\\\\ 1, & k=i,\\ \ell=m,\\\\ 1, & k=m,\\ \ell=i,\\\\ 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á

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