As três matrizes de spin de Pauli são
\sigma_{1}=\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right), \quad \sigma_{2}=\left(\begin{array}{cc}0 & -i \\\ i & 0\end{array}\right), \quad \text { e } \quad \sigma_{3}=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\\\ 0 & -1\end{array}\right) .
Mostre que Essas matrizes foram usadas por Pauli na teoria não-relativista de spin do elétron.
\left(\sigma_{i}\right)^{2}=1_{2}

Passo 1

O enunciado fornece as três matrizes de Pauli
\sigma_{1}=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[6pt] 1 & 0\end{pmatrix},\quad \sigma_{2}=\begin{pmatrix}0 & -i \\[6pt] i & 0\end{pmatrix},\quad \sigma_{3}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[6pt] 0 & -1\end{pmatrix}
e pede para mostrar que cada uma delas, ao ser elevada ao quadrado, dá a matriz identidade 1_{2}. Para isso, vamos usar multiplicação de matrizes e as propriedades de i, em particular i^{2}=-1.]

Passo 2

Calcular \sigma_{1}^{2}.
\sigma_{1}^{2} = \begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\cdot0 + 1\cdot1 & 0\cdot1 + 1\cdot0 \\[6pt] 1\cdot0 + 0\cdot1 & 1\cdot1 + 0\cdot0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} = 1_{2}.]

Passo 3

Calcular \sigma_{2}^{2}.
\sigma_{2}^{2} = \begin{pmatrix}0 & -i \\[4pt] i & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & -i \\[4pt] i & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\cdot0 + (-i)\cdot i & 0\cdot(-i) + (-i)\cdot0 \\[6pt] i\cdot0 + 0\cdot i & i\cdot(-i) + 0\cdot0 \end{pmatrix}.
Como (-i)\cdot i = -i^{2} = 1 e i\cdot(-i) = -i^{2} = 1, obtemos
\sigma_{2}^{2} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} = 1_{2}.]

Passo 4

Calcular \sigma_{3}^{2}.
\sigma_{3}^{2} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot1 + 0\cdot0 & 1\cdot0 + 0\cdot(-1) \\[6pt] 0\cdot1 + (-1)\cdot0 & 0\cdot0 + (-1)\cdot(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} = 1_{2}.]

Resposta

Como cada \sigma_{i}^{2} é igual a
\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} = 1_{2},
concluímos que \bigl(\sigma_{i}\bigr)^{2}=1_{2} para i=1,2,3.]

Exercícios de Livros Relacionados