As três matrizes de spin de Pauli são \sigma_{1}=\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right), \quad \sigma_{2}=\left(\begin{array}{cc}0 & -i \\\ i & 0\end{array}\right), \quad \text { e } \quad \sigma_{3}=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\\\ 0 & -1\end{array}\right) . Mostre que Essas matrizes foram usadas por Pauli na teoria não-relativista de spin do elétron. \left(\sigma_{i}\right)^{2}=1_{2} Passo 1O enunciado fornece as três matrizes de Pauli \sigma_{1}=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[6pt] 1 & 0\end{pmatrix},\quad \sigma_{2}=\begin{pmatrix}0 & -i \\[6pt] i & 0\end{pmatrix},\quad \sigma_{3}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[6pt] 0 & -1\end{pmatrix} e pede para mostrar que cada uma delas, ao ser elevada ao quadrado, dá a matriz identidade 1_{2}. Para isso, vamos usar multiplicação de matrizes e as propriedades de i, em particular i^{2}=-1.] Passo 2Calcular \sigma_{1}^{2}. \sigma_{1}^{2} = \begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\cdot0 + 1\cdot1 & 0\cdot1 + 1\cdot0 \\[6pt] 1\cdot0 + 0\cdot1 & 1\cdot1 + 0\cdot0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} = 1_{2}.] Passo 3Calcular \sigma_{2}^{2}. \sigma_{2}^{2} = \begin{pmatrix}0 & -i \\[4pt] i & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & -i \\[4pt] i & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\cdot0 + (-i)\cdot i & 0\cdot(-i) + (-i)\cdot0 \\[6pt] i\cdot0 + 0\cdot i & i\cdot(-i) + 0\cdot0 \end{pmatrix}. Como (-i)\cdot i = -i^{2} = 1 e i\cdot(-i) = -i^{2} = 1, obtemos \sigma_{2}^{2} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} = 1_{2}.] Passo 4Calcular \sigma_{3}^{2}. \sigma_{3}^{2} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot1 + 0\cdot0 & 1\cdot0 + 0\cdot(-1) \\[6pt] 0\cdot1 + (-1)\cdot0 & 0\cdot0 + (-1)\cdot(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} = 1_{2}.] RespostaComo cada \sigma_{i}^{2} é igual a \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} = 1_{2}, concluímos que \bigl(\sigma_{i}\bigr)^{2}=1_{2} para i=1,2,3.] MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETACálculo - George Arfken - Métodos Matemáticos para Engenharia e Física - 7ª Edição - Capítulo 3.2 - Ex. 3.2.13.aExercícios de Livros Relacionados3.2.7 Dadas as três matrizes \mathrm{A}=\left(\begin{array}{cc} -1 & 0 \\\\ 0 & -1 \end{array}\right), \quad \mathrm{B}=\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right), \quad \mathrm{C}=\left(\begin{array}{cc} 0 & -1 \\\\ -1 & 0 \end{array}\right), ache todos os produtos possíveis de \mathrm{A}, \mathrm{B} e C , dois por vez, incluindo quadrados. Expresse suas respostas em termos de A, B e C, e 1, a matriz unitária. Essas três matrizes, juntamente com a matriz unitária, formam uma representação de um grupo matemático, o Vierergruppe (veja a Capítulo 4). 3.2.2 Mostre que (A+B)(A-B)=A^{2}-B^{2} se, e somente se, A e B comutarem, [\mathrm{A}, \mathrm{~B}]=0 3.2.8 Dada \mathrm{K}=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & i \\\\ -i & 0 & 0 \\\\ 0 & -1 & 0 \end{array}\right), mostre que \mathrm{K}^{n}=\mathrm{KKK} \cdots(n \text { fatores })=1 (com a escolha adequada de n, n \neq 0 ). As três matrizes de spin de Pauli são sigma1=(cc0 & 1 1 & 0), sigma2=(cc0 & -i i & 0), e sigma3=(cc1 & 0 0 & -1) Mostre que Essas matrizes foram usadas por Pauli na teoria não-relativista de spin do elétron. sigmaj sigmak=i sigmal,(j, k, l)=(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2) (permutação cíclica) 3.2.22 Poderíamos pedir um vetor A^-1, um inverso de um dado vetor A no sentido de que A cdot A^-1=A^-1 cdot A=1 Mostre que essa relação não é suficiente para definir A^-1 unicamente; então, A teria um número infinito de inversos.