Mostre que (
) é o único terno pitagórico primitivo cujos termos são números naturais consecutivos.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o único terno pitagórico primitivo cujos três termos são naturais consecutivos é
.
Aqui o conteúdo é o de ternos pitagóricos e primitividade (gcd igual a 1). Vamos chamar o menor termo de , logo os outros são
e
, e impor a equação de Pitágoras e a condição de naturalidade.
Aqui o conteúdo é o de ternos pitagóricos e primitividade (gcd igual a 1). Vamos chamar o menor termo de
Passo 2
Aplicamos a condição de Pitágoras para
:
Agora expandimos e simplificamos:
Passo 3
Resolvendo a equação quadrática
usando fatoração ou fórmula de Bhaskara, obtemos
Como
deve ser um número natural, a única solução admissível é
.
Passo 4
Substituindo
temos o terno
. Verificamos ainda que
logo ele é primitivo. Não há outro
que funcione.
Resposta
O único terno pitagórico primitivo com termos naturais consecutivos é
.