Mostre que ( 3,4,5 ) é o único terno pitagórico primitivo cujos termos são números naturais consecutivos.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o único terno pitagórico primitivo cujos três termos são naturais consecutivos é (3,4,5).
Aqui o conteúdo é o de ternos pitagóricos e primitividade (gcd igual a 1). Vamos chamar o menor termo de a, logo os outros são a+1 e a+2, e impor a equação de Pitágoras e a condição de naturalidade.

Passo 2

Aplicamos a condição de Pitágoras para (a,;a+1,;a+2):
a^2 + (a+1)^2 = (a+2)^2
Agora expandimos e simplificamos:
a^2 + (a^2 + 2a + 1) = a^2 + 4a + 4
2a^2 + 2a + 1 = a^2 + 4a + 4
a^2 - 2a - 3 = 0

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática
a^2 - 2a - 3 = 0
usando fatoração ou fórmula de Bhaskara, obtemos
(a-3)(a+1)=0 Longrightarrow a=3 ou a=-1
Como a deve ser um número natural, a única solução admissível é a=3.

Passo 4

Substituindo a=3 temos o terno (3,4,5). Verificamos ainda que
gcd(3,4,5)=1,
logo ele é primitivo. Não há outro a>0 que funcione.

Resposta

O único terno pitagórico primitivo com termos naturais consecutivos é (3,4,5).

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