CN - Em um navio existem 6 barcos e 15 guarnições. Cada barco tem uma guarnição de serviço por dia. Quantos dias, no mínimo, serão necessários para que todas as guarnições tenham ficado de serviço o mesmo número de vezes?
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 15

Passo 1

O enunciado diz que há 15 guarnições e, a cada dia, 6 delas ficam de serviço (uma em cada barco). Queremos descobrir o número mínimo de dias d de modo que todas as 15 guarnições tenham ficado de serviço exatamente o mesmo número de vezes.

Passo 2

Sejam d o número de dias e k o número de vezes que cada guarnição serviu ao final de d dias. Como em cada dia servem 6 guarnições, o total de “lugares de serviço” é\r
6d \r
Por outro lado, esse total também deve ser igual a 15 guarnições vezes k serviços cada, ou seja,\r
6d = 15k

Passo 3

Da equação 6d = 15k seguimos\r
k = 6d15 = 2d5 \r
Para que k seja inteiro, é necessário que 2d seja múltiplo de 5. Como gcd(2,5)=1, isso força\r
d equiv 0 pmod5, \r
ou seja, d é múltiplo de 5. O menor valor positivo é d=5, o que dá\r
k = 2cdot55 = 2

Passo 4

Ainda precisamos garantir que seja possível distribuir as 15 guarnições em 5 dias de forma que cada dia receba exatamente 6 guarnições e cada guarnição apareça em 2 dias distintos. Isso equivale a construir um grafo bipartido entre o conjunto de 15 guarnições (grau 2 cada) e 5 dias (grau 6 cada). As condições de existência (tipo Hall) são satisfeitas, pois há “capacidade” suficiente em cada dia para acomodar qualquer subconjunto de guarnições. Logo, a distribuição é viável.

Resposta

5 \quad (letra a)

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