O nível de iluminação, em luxes, de um objeto situado a x metros de uma lâmpada é fornecido por uma função na forma L(x)=a e^b x.
a) Calcule os valores numéricos das constantes a e b, sabendo que um objeto a 1 metro de distância da lâmpada recebe 60 luxes e que um objeto a 2 metros de distância recebe 30 luxes.
b) Considerando que um objeto recebe 15 luxes, calcule a distância entre a lâmpada e esse objeto.
c) Trace o gráfico de L(x) para x entre 0 e 5 metros.

Passo 1

O enunciado nos dá um nível de iluminação modelado por
L(x)=a,e^b x
e pede:
a) determinar a e b sabendo que L(1)=60 e L(2)=30;
b) achar x quando L(x)=15;
c) esboçar o gráfico de L(x) para 0<= x<=5.

Passo 2

Dividindo os dois valores dados eliminamos a:
L(2)L(1) =a,e^bcdot2a,e^bcdot1 =e^b =3060 =tfrac12
Logo
e^b=tfrac12 Longrightarrow b=ln!l(tfrac12r)=-ln2

Passo 3

Usando L(1)=60 para achar a:
L(1)=a,e^bcdot1=60 Longrightarrow a=60,e^-b =60,e^ln2 =60cdot2 =120

Passo 4

Para L(x)=15 resolvemos
120,e^b x=15 Longrightarrow e^-ln2;x=15120=tfrac18 Longrightarrow -ln2;x=ln!l(tfrac18r)=-3ln2
Longrightarrow x=3,

Passo 5

O gráfico de
L(x)=120,e^-ln2;x =120cdot2^-x
é uma curva de decaimento exponencial que em x=0 vale 120 e depois passa por
(1,60),;(2,30),;(3,15),;(4,7,5),;(5,3,75)
Para esboçar, basta marcar esses pontos no plano (x,L) e desenhar uma curva suave que decresce de forma exponencial.

Resposta

a) a=120, b=-ln2.
b) x=3 metros.
c) Gráfico exponencial decrescente passando por (0,120),(1,60),(2,30),(3,15),(4,7,5),(5,3,75).

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