O decaimento radioativo do Césio 137 (Cs-137) é descrito pela função P(t)=P0 2^-b t, em que t é um instante de tempo, medido em anos, b é uma constante real e P0 é a concentração inicial de Cs-137, ou seja, a concentração no instante t=0.
a) Determine o valor da constante b, sabendo que a meia-vida do Cs-137 é de 30 anos (ou seja, a concentração de Cs-137 cai pela metade em 30 anos).
b) Determine o valor de P0 sabendo que P(60)=250 becquerels.
c) Trace o gráfico de P(t) para t entre 0 e 120 anos.

Passo 1

O enunciado descreve o decaimento radioativo do Cs-137 por meio da função
P(t)=P0,2^-b,t,
onde t (em anos) é o tempo, b é uma constante e P0 é a concentração inicial no instante t=0. Pede-se:
a) determinar b sabendo que a meia-vida é 30 anos, isto é, P(30)=P0/2;
b) determinar P0 sabendo que P(60)=250 Bq;
c) esboçar o gráfico de P(t) para 0<= t<=120.

Passo 2

Usamos a condição de meia-vida de 30 anos:
P(30)=P0,2^-30b = P02
Cancelando P0 e igualando potências de 2,
2^-30b = 2^-1 Longrightarrow -30b = -1 Longrightarrow b = 130

Passo 3

Com b=tfrac130 e sabendo que P(60)=250 Bq, temos
P(60)=P0,2^-60cdot130 = P0,2^-2 = P04 = 250
Logo,
P0 = 250 times 4 = 1000 Bq

Passo 4

O gráfico de
P(t)=1000,2^-t/30
é uma curva exponencial decrescente e positiva. Pontos-chave:
P(0)=1000,; P(30)=500,; P(60)=250,; P(90)=125,; P(120)=62,5
O esboço mostra uma queda suave, convexa, aproximando-se de zero conforme t aumenta.

Resposta

(a) b=130
(b) P0=1000 Bq.
(c) Gráfico de P(t)=1000,2^-t/30: curva exponencial decrescente com valores 1000 em t=0, 500 em t=30, 250 em t=60, 125 em t=90 e 62,5 em t=120.

Exercícios de Livros Relacionados