Se n é um número perfeito pare se d mid n, 1<d<n, mostre que d é deficiente.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se n é número perfeito (isto é, a soma de todos os seus divisores é sigma(n)=2n) e d é um divisor próprio de n com 1<d<n, então d é deficiente, isto é,
sigma(d)<2d
Para isso vamos usar o Teorema de Euclides–Euler, que caracteriza os números perfeitos pares.

Passo 2

Pelo Teorema de Euclides–Euler, todo número perfeito par n tem a forma
n = 2^p-1,l(2^p - 1r),
onde p é primo e M=2^p-1 é um primo de Mersenne. Além disso sigma(n)=2n.

Passo 3

Os divisores de
n = 2^p-1,M
são exatamente os números da forma
2^k ou 2^k,M,
onde k varia de 0 até p-1. Como d é divisor próprio e d>1, restam apenas duas possibilidades:
  1. d=2^k com 1<= k<= p-1.
  2. d=2^k,M com 0<= k<= p-2 (pois se k=p-1 teríamos d=n, não permitido).

Passo 4

Caso d=2^k.
Nesse caso
sigma(d) ;=;sigmal(2^kr) =;2^k+1-1,
e
2d = 2cdot 2^k = 2^k+1
Como
2^k+1-1 < 2^k+1,
segue
sigma(d) < 2d,
ou seja, 2^k é deficiente.

Passo 5

Caso d=2^k,M com 0<= k<= p-2.
Usamos que sigma é multiplicativa em fatores primos distintos, logo
sigma(d) =sigmal(2^kr),sigma(M) =l(2^k+1-1r),(M+1) =l(2^k+1-1r),2^p
Por outro lado,
2d = 2cdot2^k,M =2^k+1,(2^p-1)
Comparando, queremos ver
l(2^k+1-1r),2^p ;<;2^k+1,(2^p-1)
Dividindo ambos os lados por 2^p e reorganizando, isso é equivalente a
2^k+1-1 < 2^k+1l(1 - 2^-pr) ;Long<=ftrightarrow; -1 < -,2^k+1-p,
que vale pois k+1-p<= -1. Logo
sigma(d)<2d,
isto é, 2^k,M também é deficiente.

Resposta

Qualquer divisor próprio d de um número perfeito n satisfaz sigma(d)<2d, portanto d é deficiente.

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