Se n é um número perfeito pare se
, mostre que d é deficiente.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é número perfeito (isto é, a soma de todos os seus divisores é
) e
é um divisor próprio de
com
, então
é deficiente, isto é,
Para isso vamos usar o Teorema de Euclides–Euler, que caracteriza os números perfeitos pares.
Passo 2
Pelo Teorema de Euclides–Euler, todo número perfeito par
tem a forma
onde
é primo e
é um primo de Mersenne. Além disso
.
Passo 3
Os divisores de
são exatamente os números da forma
onde
varia de
até
. Como
é divisor próprio e
, restam apenas duas possibilidades:
-
com . -
com (pois se teríamos , não permitido).
Passo 4
Caso
.
Nesse caso
Nesse caso
e
Como
segue
ou seja,
é deficiente.
Passo 5
Caso
com
.
Usamos que é multiplicativa em fatores primos distintos, logo
Usamos que
Por outro lado,
Comparando, queremos ver
Dividindo ambos os lados por
e reorganizando, isso é equivalente a
que vale pois
. Logo
isto é,
também é deficiente.
Resposta
Qualquer divisor próprio
de um número perfeito
satisfaz
, portanto
é deficiente.