Use o teorema de Euler já citado, segundo o qual todo número perfeito par é da forma
, onde
é primo, para provar que todo número perfeito par é um número triangular.
Passo 1
O enunciado afirma que todo número perfeito par
é dado por
onde
é primo. Queremos provar que existe algum inteiro
tal que
isto é, que
é um número triangular.
Passo 2
Para isso, igualamos
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a equação quadrática em
:
Passo 3
O discriminante desta equação é
Fatorando,
Logo,
é quadrado perfeito e
Passo 4
Pela fórmula de Bhaskara, a solução positiva para
é
Como
é inteiro, concluímos que
ou seja,
é o número triangular de índice
.
Resposta
Todo número perfeito par
é triangular, pois