Use o teorema de Euler já citado, segundo o qual todo número perfeito par é da forma 2^k-1 cdot(2^k-1), onde 2^k-1 é primo, para provar que todo número perfeito par é um número triangular.

Passo 1

O enunciado afirma que todo número perfeito par N é dado por
N = 2^k-1,l(2^k - 1r),
onde 2^k-1 é primo. Queremos provar que existe algum inteiro n tal que
N = n(n+1)2,
isto é, que N é um número triangular.

Passo 2

Para isso, igualamos
n(n+1)2 ;=; 2^k-1l(2^k-1r)
Multiplicando ambos os lados por 2 obtemos a equação quadrática em n:
n^2 + n ;-; 2,N ;=; 0

Passo 3

O discriminante desta equação é
De<a = 1 + 8,N = 1 + 8cdot 2^k-1(2^k-1)
Fatorando,
1 + 8cdot 2^k-1(2^k-1) = 1 + 2^k+2,(2^k-1) = 2^2k+2 ;-; 2^k+2 ;+; 1 = l(2^k+1-1r)^2
Logo, De<a é quadrado perfeito e
raizDe<a = 2^k+1-1

Passo 4

Pela fórmula de Bhaskara, a solução positiva para n é
n = -1 + raizDe<a2 = -1 + (2^k+1-1)2 = 2^k+1-22 = 2^k - 1
Como 2^k-1 é inteiro, concluímos que
N = n(n+1)2 com n = 2^k - 1,
ou seja, N é o número triangular de índice 2^k-1.

Resposta

Todo número perfeito par
N = 2^k-1(2^k-1)
é triangular, pois
N = (2^k-1)l(2^k-1+1r)2 = n(n+1)2 com n = 2^k-1

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