Prove que 2 mid(fn+3-fn), forall n >= 1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, na sequência de Fibonacci (fn)n>=1 com f1=f2=1 e fn+2=fn+1+fn, vale
2 mid l(fn+3-fnr) forall n>=1
O conteúdo aqui é analisar a Fibonacci módulo 2 e usar a periodicidade resultante.

Passo 2

Vamos calcular os primeiros termos bmod2:
f1=1,;f2=1,;f3=2,;f4=3,;f5=5,;f6=8,dots
e, em módulo 2,
f1equiv1,;f2equiv1,;f3equiv0,;f4equiv1,;f5equiv1,;f6equiv0,dots
Observamos que a sequência dos restos repete o padrão (1,1,0).

Passo 3

Como a sequência l(fnr)bmod2 tem período 3, para todo n>=1 vale
fn+3equiv fnpmod2

Passo 4

Da congruência anterior segue
fn+3-fnequiv0pmod2,
ou seja, 2 divide fn+3-fn.

Resposta

Ficou provado que
2 mid l(fn+3-fnr) forall n>=1

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