O número raiz[3]10+6 raiz3 é igual a:
a) 1+raiz7
b) 1+raiz6
c) 1+raiz5
d) 1+raiz3
e) 1+raiz2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor de
raiz[3]10 + 6raiz3
escolhendo entre as opções 1+raiz7, 1+raiz6, 1+raiz5, 1+raiz3 e 1+raiz2.
O conteúdo principal aqui é manipulação de radicais e expansão de um binômio ao cubo, usando a fórmula
(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

Passo 2

Suponha que exista um inteiro m tal que
raiz[3]10 + 6raiz3 = 1 + raizm
Vamos elevar os dois lados ao cubo para comparar com 10 + 6raiz3. Primeiro, expanda (1 + raizm)^3 usando a fórmula do cubo de soma:
(1 + raizm)^3 = 1^3 + 3cdot1^2cdotraizm + 3cdot1cdot(raizm)^2 + (raizm)^3

Passo 3

Calcule cada termo da expansão:
  1. 1^3 = 1.
  2. 3cdot1^2cdotraizm = 3raizm.
  3. 3cdot1cdot(raizm)^2 = 3m.
  4. (raizm)^3 = mraizm.
Somando tudo, obtemos
(1 + raizm)^3 = (1 + 3m) + (3 + m),raizm

Passo 4

Queremos que
(1 + raizm)^3 = 10 + 6raiz3
Isso significa que o termo sem raiz deve ser 1+3m = 10 e o coeficiente da raiz deve ser 3+m = 6, além de a raiz em si ser raiz3. Da equação 3 + m = 6 vem m = 3. Verificando em 1 + 3m:
1 + 3cdot3 = 1 + 9 = 10,
bate certinho.

Resposta

1+raiz3

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