26 Quais números inteiros são divisíveis por 5, mas têm resto 1 quando divididos por 3 ?

Passo 1

O enunciado pede os inteiros x tais que
  1. x é divisível por 5, isto é,
x \equiv 0 \pmod{5},
  1. ao mesmo tempo, x deixa resto 1 na divisão por 3, isto é,
x \equiv 1 \pmod{3}.
Para resolver, vamos usar o método de substituição (ou o Teorema Chinês dos Restos).

Passo 2

Da primeira condição x\equiv0\pmod{5}, escrevemos
x = 5k,
onde k é um inteiro qualquer.

Passo 3

Substituindo x=5k na segunda condição x\equiv1\pmod{3}, obtemos
5k \equiv 1 \pmod{3}.

Passo 4

Como 5 \equiv 2 \pmod{3}, a congruência fica
2k \equiv 1 \pmod{3}.

Passo 5

O inverso de 2 módulo 3 é 2, pois 2\cdot2=4\equiv1\pmod3. Multiplicando ambos os lados por 2, vem
k \equiv 2 \pmod{3}.

Passo 6

Logo, k pode ser escrito como
k = 3m + 2,
com m\in\mathbb{Z}. Substituindo de volta em x=5k, temos
x = 5(3m+2) = 15m + 10.

Resposta

Os inteiros que satisfazem as condições são todos os números da forma
x = 15m + 10,\quad m\in\mathbb{Z}.

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