Os números de Lucas satisfazem a relação de recorrência
e as condições iniciais
e
.
a) Mostre que
para
, em que
é o
-ésimo número de Fibonacci.
b) Encontre uma fórmula explícita para os números de Lucas.
a) Mostre que
b) Encontre uma fórmula explícita para os números de Lucas.
Passo 1
O enunciado trata da sequência de Lucas, definida por
com
e
.
Na parte (a) queremos mostrar que
Na parte (a) queremos mostrar que
onde
é o
-ésimo número de Fibonacci, que satisfaz
Na parte (b) buscamos uma fórmula explícita para
, isto é, uma expressão em função de
sem recorrência.
Passo 2
Prova por indução de que
Para
temos
e
, logo a fórmula vale em
.
Suponha que vale para e
, ou seja
Suponha que vale para
Então, pela recorrência de Lucas,
Mas
e
, então
que é exatamente a fórmula desejada para
. Assim a indução está completa.
Passo 3
Agora vamos obter uma fórmula explícita para
resolvendo sua recorrência pelo método do polinômio característico. Acharremos raízes de
As soluções são
Logo a solução geral de
é
para constantes
e
a determinar pelas condições iniciais.
Passo 4
Impondo
Impondo
,
dá
Resolvendo o sistema
subtraímos
e
, obtemos
. Então
.
Passo 5
Concluímos que
onde
e
.
Resposta
a) Para
vale
b) A fórmula explícita é