Os números de Lucas satisfazem a relação de recorrência
L_{n}=L_{n-1}+L_{n-2}
e as condições iniciais L_{0}=2 e L_{1}=1.
a) Mostre que L_{n}=f_{n-1}+f_{n+1} para n=2,3, \ldots, em que f_{n} é o n-ésimo número de Fibonacci.
b) Encontre uma fórmula explícita para os números de Lucas.

Passo 1

O enunciado trata da sequência de Lucas, definida por
L_{n}=L_{n-1}+L_{n-2},
com L_{0}=2 e L_{1}=1.
Na parte (a) queremos mostrar que
L_{n}=f_{n-1}+f_{n+1}\quad(n\ge2),
onde f_{n} é o n-ésimo número de Fibonacci, que satisfaz
f_{n}=f_{n-1}+f_{n-2},\quad f_{0}=0,\;f_{1}=1.
Na parte (b) buscamos uma fórmula explícita para L_{n}, isto é, uma expressão em função de n sem recorrência.

Passo 2

Prova por indução de que
L_{n}=f_{n-1}+f_{n+1}.
Para n=2 temos L_{2}=L_{1}+L_{0}=1+2=3 e f_{1}+f_{3}=1+2=3, logo a fórmula vale em n=2.
Suponha que vale para n e n-1, ou seja
L_{n}=f_{n-1}+f_{n+1},\quad L_{n-1}=f_{n-2}+f_{n}.
Então, pela recorrência de Lucas,
L_{n+1}=L_{n}+L_{n-1} =(f_{n-1}+f_{n+1})+(f_{n-2}+f_{n}) =(f_{n+1}+f_{n})+(f_{n-1}+f_{n-2}).
Mas f_{n+2}=f_{n+1}+f_{n} e f_{n}=f_{n-1}+f_{n-2}, então
L_{n+1}=f_{n+2}+f_{n},
que é exatamente a fórmula desejada para n+1. Assim a indução está completa.

Passo 3

Agora vamos obter uma fórmula explícita para L_{n} resolvendo sua recorrência pelo método do polinômio característico. Acharremos raízes de
r^{2}-r-1=0.
As soluções são
\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2},\quad \psi=\frac{1-\sqrt{5}}{2}.
Logo a solução geral de L_{n}=L_{n-1}+L_{n-2} é
L_{n}=A\,\varphi^{n}+B\,\psi^{n},
para constantes A e B a determinar pelas condições iniciais.

Passo 4

Impondo n=0\), \(L_{0}=2\) dá \[A+B=2.
Impondo n=1, L_{1}=1
A\,\varphi+B\,\psi=1.
Resolvendo o sistema
\begin{cases} A+B=2,\\\ A\varphi+B\psi=1, \end{cases}
subtraímos \psi\] vezes a primeira da segunda: \[A(\varphi-\psi)=1-2\psi.\] Como \(\varphi-\psi=\sqrt{5} e 1-2\psi=1-2\bigl(\tfrac{1-\sqrt5}2\bigr)=\sqrt5, obtemos A=1. Então B=2-A=1.

Passo 5

Concluímos que
L_{n}=\varphi^{n}+\psi^{n},
onde \varphi=(1+\sqrt{5})/2 e \psi=(1-\sqrt{5})/2.

Resposta

a) Para n\ge2 vale
L_{n}=f_{n-1}+f_{n+1}.
b) A fórmula explícita é
L_{n}=\Bigl(\tfrac{1+\sqrt{5}}2\Bigr)^{n}+\Bigl(\tfrac{1-\sqrt{5}}2\Bigr)^{n}.

Exercícios de Livros Relacionados