Resolva as relações de recorrência abaixo com as condições iniciais dadas.
Determine a solução para recorrência:
a_{n+2}=-4 a_{n+1}+5 a_{n} para n \geq 0, a_{0}=2, a_{1}=8

Passo 1

O enunciado pede solução geral da recorrência linear homogênea de segunda ordem
a_{n+2} = -4\,a_{n+1} + 5\,a_{n}
com condições iniciais \,a_{0}=2 e \,a_{1}=8. Vamos usar a técnica da equação característica e depois ajustar as constantes pelas CIs.

Passo 2

Formamos a equação característica associada:
r^2 + 4r - 5 = 0.
O discriminante é
\Delta = 4^2 - 4\cdot1\cdot(-5) = 16 + 20 = 36,
logo as raízes são
r = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-4 \pm 6}{2},
isto é, \,r_{1}=1 e \,r_{2}=-5.

Passo 3

Como as raízes são distintas, a solução geral é
a_{n} = \alpha_{1}\,1^{n} \;+\;\alpha_{2}\,(-5)^{n} \quad\Longrightarrow\quad a_{n} = \alpha_{1} + \alpha_{2}(-5)^{n}.

Passo 4

Usamos as condições iniciais para achar \alpha_{1}\) e \(\alpha_{2}\). Para \(n=0\): \[a_{0}=2 = \alpha_{1} + \alpha_{2}.
Para n=1:
a_{1}=8 = \alpha_{1} + \alpha_{2}(-5) = \alpha_{1} - 5\,\alpha_{2}.
Isso gera o sistema
\begin{cases} \alpha_{1} + \alpha_{2} = 2,\\\ \alpha_{1} - 5\,\alpha_{2} = 8. \end{cases}
Subtraindo, -6\,\alpha_{2}=6\] dá \(\alpha_{2}=-1, e então \alpha_{1}=2-(-1)=3.

Passo 5

Substituindo \alpha_{1}=3 e \alpha_{2}=-1 na solução geral, obtemos
a_{n} = 3 - (-5)^{n}.

Resposta

a_{n} = 3 - (-5)^{n}.

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