Determine quais das relações abaixo são relações de recorrência lineares e homogêneas com coeficientes constantes. Encontre também seus respectivos graus.
a_{n}=a_{n-2}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
a_{n} = a_{n-2}
é uma relação de recorrência linear e homogênea com coeficientes constantes, e em caso afirmativo determinar seu grau.

Passo 2

Uma recorrência é dita linear e homogênea com coeficientes constantes se puder ser escrita na forma
a_{n} + c_{1}a_{n-1} + \cdots + c_{k}a_{n-k} = 0
onde c_{1},\dots,c_{k} são constantes.

Passo 3

Reescrevendo
a_{n} = a_{n-2}
na forma homogênea obtemos
a_{n} - a_{n-2} = 0,
cujo único c_i não nulo são c_{0}=1 (para a_n) e c_{2}=-1 (para a_{n-2}). Não há termo independente nem coeficientes variáveis, logo é linear, homogênea e de coeficientes constantes.

Passo 4

O grau (ou ordem) da recorrência é o maior deslocamento de índice envolvido, ou seja
n - (n-2) = 2.

Resposta

A relação a_{n}=a_{n-2} é linear, homogênea com coeficientes constantes e de grau 2.

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