(OBM-2001) Apresente todos os números inteiros positivos menores do que 1000 que têm exatamente três divisores positivos. Por exemplo: o número 4 tem exatamente três divisores positivos: 1,2 e 4.

Passo 1

O enunciado pede todos os inteiros positivos menores que 1000 que têm exatamente três divisores positivos. Vamos usar que, se um número n tem fatoração em primos
n = p1^e1p2^e2cdots pk^ek,
então o número de divisores de n é
d(n) = (e1+1)(e2+1)cdots(ek+1)
Queremos d(n)=3.

Passo 2

Como 3 é primo, a única forma de escrever 3 como produto de inteiros maiores que zero é 3 = 3cdot1cdot1cdots1. Portanto na fatoração de n exatamente um dos expoentes deve satisfazer ei+1=3 (ou seja, ei=2) e todos os outros devem ter expoente zero. Logo
n = p^2,
com p primo.

Passo 3

Devemos ainda exigir p^2<1000. Como raiz1000approx31,62, isso significa que p pode ser qualquer primo menor ou igual a 31.

Passo 4

Os primos <=31 são
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31
Elevando ao quadrado, obtemos
2^2=4,;3^2=9,;5^2=25,;7^2=49,;11^2=121,;13^2=169,;17^2=289,;19^2=361,;23^2=529,;29^2=841,;31^2=961

Resposta

4, 9, 25, 49, 121, 169, 289, 361, 529, 841, 961

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