(OBM-2001) Apresente todos os números inteiros positivos menores do que 1000 que têm exatamente três divisores positivos. Por exemplo: o número 4 tem exatamente três divisores positivos: 1,2 e 4.
Passo 1
O enunciado pede todos os inteiros positivos menores que
que têm exatamente três divisores positivos. Vamos usar que, se um número
tem fatoração em primos
então o número de divisores de
é
Queremos
.
Passo 2
Como
é primo, a única forma de escrever
como produto de inteiros maiores que zero é
. Portanto na fatoração de
exatamente um dos expoentes deve satisfazer
(ou seja,
) e todos os outros devem ter expoente zero. Logo
com
primo.
Passo 3
Devemos ainda exigir
. Como
, isso significa que
pode ser qualquer primo menor ou igual a
.
Passo 4
Os primos
são
Elevando ao quadrado, obtemos
Resposta
4, 9, 25, 49, 121, 169, 289, 361, 529, 841, 961