- Demonstrar as seguintes proposições:
a) Nenhuma potência de um primo é um número perfeito.
a) Nenhuma potência de um primo é um número perfeito.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é primo e
é um inteiro, então
não pode ser um número perfeito. Lembrando que um inteiro positivo
é perfeito se a soma de todos os seus divisores positivos (incluindo
e
) é igual a
. Em outras palavras, usando a função soma dos divisores
, temos
Passo 2
Para uma potência de primo
, há uma fórmula bem conhecida para
, que soma todos os divisores
. Ela é
Passo 3
Queremos ver se existe solução inteira de
Substituindo a fórmula de
, isso dá
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos
Passo 4
Rearranjando a equação
fica
Colocando
em evidência,
Como
é primo,
e
, o fator
é um inteiro não negativo. Para que ele seja igual a
, precisaríamos de
Mas
só ocorre se
(não primo) ou
(fora do nosso caso
), e
dá
. Não há forma de satisfazer ambos simultaneamente com
primo e
. Portanto não existe solução.
Resposta
Não há nenhum primo
e inteiro
tais que
seja perfeito.