1. Demonstrar as seguintes proposições:
    a) Nenhuma potência de um primo é um número perfeito.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se p é primo e k>=1 é um inteiro, então n=p^k não pode ser um número perfeito. Lembrando que um inteiro positivo n é perfeito se a soma de todos os seus divisores positivos (incluindo 1 e n) é igual a 2n. Em outras palavras, usando a função soma dos divisores sigma(n), temos
n perfeito Long<=ftrightarrow sigma(n)=2n

Passo 2

Para uma potência de primo n=p^k, há uma fórmula bem conhecida para sigma(p^k), que soma todos os divisores 1,p,p^2,dots,p^k. Ela é
sigma(p^k)=1+p+p^2+cdots+p^k=p^,k+1-1p-1

Passo 3

Queremos ver se existe solução inteira de
sigma(p^k)=2,p^k
Substituindo a fórmula de sigma(p^k), isso dá
p^,k+1-1p-1=2,p^k
Multiplicando ambos os lados por p-1, obtemos
p^,k+1-1=2,p^k,(p-1)=2,p^,k+1-2,p^k

Passo 4

Rearranjando a equação
p^,k+1-1=2,p^,k+1-2,p^k
fica
0=p^,k+1-2,p^,k+1+2,p^k+1 Longrightarrow 0=-p^,k+1+2,p^k+1 Longrightarrow p^,k+1-2,p^k=1
Colocando p^k em evidência,
p^k,(p-2)=1
Como p é primo, p>=2 e k>=1, o fator p^k,(p-2) é um inteiro não negativo. Para que ele seja igual a 1, precisaríamos de
p^k=1 e p-2=1
Mas p^k=1 só ocorre se p=1 (não primo) ou k=0 (fora do nosso caso k>=1), e p-2=1 p=3. Não há forma de satisfazer ambos simultaneamente com p primo e k>=1. Portanto não existe solução.

Resposta

Não há nenhum primo p e inteiro k>=1 tais que p^k seja perfeito.

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