- Mostrar que, se o mdc
e se a é abundante, então a.b é abundante.
- Achar os valores de
para os quais
é abundante.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas. Primeiro, mostrar que se
e
é abundante, então
também é abundante. Segundo, encontrar todos os inteiros
tais que
é abundante.
Conteúdo necessário: função soma dos divisores , propriedades de multiplicatividade quando
é 1, e definição de número abundante (isto é,
).
Conteúdo necessário: função soma dos divisores
Passo 2
Para a parte 14, usamos que
é multiplicativa quando os argumentos são primos entre si. Logo, se
, vale
Como
é abundante, temos
. Além disso, para todo
tem-se
(já que
soma pelo menos
). Então
o que mostra que
é abundante.
Passo 3
Para a parte 15, seja
. Como
, temos
Queremos
, isto é,
Expandindo:
Como
cresce em potências de 2, a menor potência maior que 12 é
. Logo
Resposta
- Se
e é abundante ( ), então
-
é abundante exatamente para