1. Mostrar que, se o mdc (a, b)=1 e se a é abundante, então a.b é abundante.
  2. Achar os valores de k para os quais 2^k 11 é abundante.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas. Primeiro, mostrar que se gcd(a,b)=1 e a é abundante, então acdot b também é abundante. Segundo, encontrar todos os inteiros k tais que 2^kcdot 11 é abundante.
Conteúdo necessário: função soma dos divisores sigma(n), propriedades de multiplicatividade quando gcd é 1, e definição de número abundante (isto é, sigma(n)>2n).

Passo 2

Para a parte 14, usamos que sigma é multiplicativa quando os argumentos são primos entre si. Logo, se gcd(a,b)=1, vale
sigma(a,b)=sigma(a),sigma(b)
Como a é abundante, temos sigma(a)>2a. Além disso, para todo b>=1 tem-se sigma(b)>b (já que sigma(b) soma pelo menos 1+b). Então
sigma(a,b)=sigma(a),sigma(b) >2a;times;b =2,a,b,
o que mostra que a,b é abundante.

Passo 3

Para a parte 15, seja n=2^kcdot 11. Como gcd(2^k,11)=1, temos
sigma(n) =sigma(2^k),sigma(11) =l(2^k+1-1r),l(1+11r) =12,l(2^k+1-1r)
Queremos sigma(n)>2n, isto é,
12,(2^k+1-1)>2,(2^k,11) Long<=ftrightarrow 12,(2^k+1-1)>11,2^k+1
Expandindo:
12cdot 2^k+1-12>11cdot2^k+1 Long<=ftrightarrow 2^k+1>12
Como 2^k+1 cresce em potências de 2, a menor potência maior que 12 é 16=2^4. Logo
k+1>=4 Long<=ftrightarrow k>=3

Resposta

  1. Se gcd(a,b)=1 e a é abundante ( sigma(a)>2a), então
sigma(a,b)=sigma(a),sigma(b)>2acdot b ;Longrightarrow; a,b é abundante é
  1. 2^kcdot 11 é abundante exatamente para
k>=3

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