OBM - Em um ano, no máximo quantos meses têm cinco domingos?
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6

Passo 1

O enunciado pergunta qual é o número máximo de meses em um ano que podem ter cinco domingos. O conteúdo aqui é análise de calendário: cada mês tem 4 semanas completas ( 28 dias) mais r dias extras, onde rin0,1,2,3. Para que um mês tenha cinco domingos, um desses r dias extras deve cair em um domingo.

Passo 2

Vamos achar, em função do comprimento L do mês, em quais dias da semana o primeiro dia do mês deve cair para gerar cinco domingos:
  • Se L=31, então 31=4cdot7+3, há 3 dias “extras” no fim. Esses dias são de deslocamento 0,1,2bmod7 a partir do mesmo dia da semana do dia 1. Logo, um desses será domingo se o dia 1 for sexta ( 5), sábado ( 6) ou domingo ( 0).
  • Se L=30, então 30=4cdot7+2, sobra deslocamento 0,1, e precisa que o dia 1 seja sábado ( 6) ou domingo ( 0).
  • Se L=29, então sobra deslocamento 0, e precisa que o dia 1 seja domingo ( 0).
  • Se L=28, não sobra dia extra, logo nunca dá cinco domingos.

Passo 3

Num ano bissexto (para maximizar, já que em fevereiro de 29 dias há chance), os comprimentos e seus deslocamentos bmod 7 são
(31,29,31,30,31,30,31,31,30,31,30,31) bmod 7 = (3,1,3,2,3,2,3,3,2,3,2,3)
Seja s1 o dia da semana do dia 1 de janeiro (domingo 0, segunda 1, ···, sábado 6). Então o dia 1 do mês i é
si = s1 + sumk=1^i-1 (Lk bmod 7) ; bmod 7
Calculamos esses somatórios parciais e vemos que, variando s1 em 0,dots,6, a soma dos meses que satisfazem a condição do passo 2 atinge no máximo 5.

Passo 4

Fazendo a contagem para cada possível s1, encontramos que o valor máximo de meses com cinco domingos em um ano (mesmo escolhendo bissexto) é
5

Resposta

c) 5

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