OBM - Em um ano, no máximo quantos meses têm cinco domingos?
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
Passo 1
O enunciado pergunta qual é o número máximo de meses em um ano que podem ter cinco domingos. O conteúdo aqui é análise de calendário: cada mês tem
semanas completas (
dias) mais
dias extras, onde
. Para que um mês tenha cinco domingos, um desses
dias extras deve cair em um domingo.
Passo 2
Vamos achar, em função do comprimento
do mês, em quais dias da semana o primeiro dia do mês deve cair para gerar cinco domingos:
- Se
, então , há dias “extras” no fim. Esses dias são de deslocamento a partir do mesmo dia da semana do dia . Logo, um desses será domingo se o dia for sexta ( ), sábado ( ) ou domingo ( ). - Se
, então , sobra deslocamento , e precisa que o dia seja sábado ( ) ou domingo ( ). - Se
, então sobra deslocamento , e precisa que o dia seja domingo ( ). - Se
, não sobra dia extra, logo nunca dá cinco domingos.
Passo 3
Num ano bissexto (para maximizar, já que em fevereiro de
dias há chance), os comprimentos e seus deslocamentos
são
Seja
o dia da semana do dia
de janeiro (domingo
, segunda
, ···, sábado
). Então o dia
do mês
é
Calculamos esses somatórios parciais e vemos que, variando
em
, a soma dos meses que satisfazem a condição do passo
atinge no máximo
.
Passo 4
Fazendo a contagem para cada possível
, encontramos que o valor máximo de meses com cinco domingos em um ano (mesmo escolhendo bissexto) é
Resposta
c)