OBM - Os 61 aprovados em um concurso, cujas notas foram todas distintas, foram distribuídos em duas turmas, de acordo com a nota obtida no concurso: os 31 primeiros foram colocados na Turma A e os 30 seguintes na Turma B. As médias das duas turmas no concurso foram calculadas. Depois, no entanto, decidiu-se passar o último colocado da Turma A para a Turma B. Com isso:
a) A média da turma A melhorou, mas a da B piorou.
b) A média da turma A piorou, mas a da B melhorou.
c) As médias de ambas as turmas melhoraram.
d) As médias de ambas as turmas pioraram.
e) As médias das turmas podem melhorar ou piorar, dependendo das notas dos candidatos.
a) A média da turma A melhorou, mas a da B piorou.
b) A média da turma A piorou, mas a da B melhorou.
c) As médias de ambas as turmas melhoraram.
d) As médias de ambas as turmas pioraram.
e) As médias das turmas podem melhorar ou piorar, dependendo das notas dos candidatos.
Passo 1
Resumindo o enunciado: há 61 notas distintas em ordem decrescente, as 31 maiores ficaram na Turma A e as 30 seguintes na Turma B. Transferimos a 31ª maior nota (menor nota de A) para B. Precisamos ver como isso afeta as médias aritméticas de cada turma.
Passo 2
Analisando a Turma A: seja
a soma das 31 notas e
a média inicial. Ao removermos a menor nota
de A, temos
. A nova soma é
e o número de alunos passa a ser 30, logo a nova média é
pois retirar um valor abaixo da média sempre a aumenta. Portanto, a média de A melhora.
Passo 3
Analisando a Turma B: seja
a soma das 30 notas e
a média inicial. A nota
que chega é maior que todas as notas de B, logo
. Ao adicioná-la, a nova soma é
e o número de alunos passa a ser 31, então
pois incluir um valor acima da média sempre a aumenta. Portanto, a média de B também melhora.
Passo 4
Concluímos que, após a transferência, ambas as turmas têm suas médias aumentadas.
Resposta
c) As médias de ambas as turmas melhoraram.