OBM - Os 61 aprovados em um concurso, cujas notas foram todas distintas, foram distribuídos em duas turmas, de acordo com a nota obtida no concurso: os 31 primeiros foram colocados na Turma A e os 30 seguintes na Turma B. As médias das duas turmas no concurso foram calculadas. Depois, no entanto, decidiu-se passar o último colocado da Turma A para a Turma B. Com isso:
a) A média da turma A melhorou, mas a da B piorou.
b) A média da turma A piorou, mas a da B melhorou.
c) As médias de ambas as turmas melhoraram.
d) As médias de ambas as turmas pioraram.
e) As médias das turmas podem melhorar ou piorar, dependendo das notas dos candidatos.

Passo 1

Resumindo o enunciado: há 61 notas distintas em ordem decrescente, as 31 maiores ficaram na Turma A e as 30 seguintes na Turma B. Transferimos a 31ª maior nota (menor nota de A) para B. Precisamos ver como isso afeta as médias aritméticas de cada turma.

Passo 2

Analisando a Turma A: seja SA a soma das 31 notas e muA = SA/31 a média inicial. Ao removermos a menor nota x de A, temos x<muA. A nova soma é SA' = SA - x e o número de alunos passa a ser 30, logo a nova média é
muA' = SA - x30 > SA31 = muA,
pois retirar um valor abaixo da média sempre a aumenta. Portanto, a média de A melhora.

Passo 3

Analisando a Turma B: seja SB a soma das 30 notas e muB = SB/30 a média inicial. A nota x que chega é maior que todas as notas de B, logo x>muB. Ao adicioná-la, a nova soma é SB' = SB + x e o número de alunos passa a ser 31, então
muB' = SB + x31 > SB30 = muB,
pois incluir um valor acima da média sempre a aumenta. Portanto, a média de B também melhora.

Passo 4

Concluímos que, após a transferência, ambas as turmas têm suas médias aumentadas.

Resposta

c) As médias de ambas as turmas melhoraram.

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