OBM - Uma caixa contém 900 cartões, numerados de 100 a 999. Retiramse ao acaso (sem reposição) cartões da caixa e anotamos a soma dos seus algarismos. Qual é a menor quantidade de cartões que devem ser retirados da caixa, para garantirmos que pelo menos três destas somas sejam iguais?
a) 51
b) 52
c) 53
d) 54
e) 55

Passo 1

O enunciado diz que há cartões numerados de 100 a 999 (total de 900 cartões) e que, ao retirar cartões sem reposição, anotamos a soma dos algarismos de cada cartão. Queremos o menor número de retiradas que garanta que alguma soma de algarismos apareça pelo menos três vezes.
Conteúdo: princípio da casa dos pombos (pigeonhole principle) em suas versões quantificadas.

Passo 2

Cada cartão pertence a uma “caixa” identificada pela soma dos seus algarismos. Essa soma varia de 1 (para 100) a 27 (para 999). Logo, temos 27 categorias de soma:
sin1,2,3,dots,27

Passo 3

Para usar o princípio da casa dos pombos em versão “garantir o terceiro elemento igual”, precisamos saber quantos cartões há em cada categoria s. Note que:
– Para s=1 só existe o cartão 100, logo f(1)=1.
– Para s=27 só existe o cartão 999, logo f(27)=1.
– Para cada s entre 2 e 26 há pelo menos duas combinações de dígitos que somam a s, logo f(s)>=2.

Passo 4

No pior caso, para evitar ter três cartões com mesma soma s, podemos retirar no máximo
min(2,f(s))
de cada categoria s. Assim, o número máximo de retiradas sem que nenhuma soma apareça três vezes é
sums=1^27min(2,f(s)) =underbracemin(2,f(1))1 +sums=2^262 +underbracemin(2,f(27))1 =1+25cdot2+1 =52

Passo 5

Para garantir que apareça alguma soma de algarismos pelo menos três vezes, precisamos ultrapassar esse máximo sem tripla. Ou seja, devemos retirar
52 + 1 = 53
cartões.

Resposta

53 (alternativa c)

Exercícios de Livros Relacionados