OBM - Certo número N de dois algarismos é o quadrado de um número natural. Invertendo-se a ordem dos algarismos desse número, obtém-se um número ímpar. A diferença entre os dois números é o cubo de um número natural. Podemos afirmar que a soma dos algarismos de N é:
a) 7
b) 10
c) 13
d) 9
e) 11
a) 7
b) 10
c) 13
d) 9
e) 11
Passo 1
O enunciado quer um número de dois algarismos
que seja quadrado de um natural, tal que ao inverter seus algarismos obtenha-se um número ímpar
, e a diferença entre eles seja o cubo de um natural. Vamos listar os quadrados de dois algarismos e depois aplicar os filtros de “invertido ímpar” e “diferença cubo”.
Passo 2
Os quadrados de números naturais entre
e
são
.
Passo 3
Para que o invertido
seja ímpar, seu último dígito deve ser ímpar. Isso significa que o primeiro dígito de
precisa ser ímpar. Dos candidatos acima, só têm primeiro dígito ímpar:
Destes, apenas
e
são ímpares. Assim, restam
e
.
Passo 4
Para cada candidato, calculamos
e verificamos se é cubo perfeito:
Para
,
:
e
não é cubo perfeito.
Para
,
:
que é cubo perfeito.
Passo 5
Portanto, o único
que satisfaz todas as condições é
. A soma dos algarismos de
é
Resposta
9