OBM - Certo número N de dois algarismos é o quadrado de um número natural. Invertendo-se a ordem dos algarismos desse número, obtém-se um número ímpar. A diferença entre os dois números é o cubo de um número natural. Podemos afirmar que a soma dos algarismos de N é:
a) 7
b) 10
c) 13
d) 9
e) 11

Passo 1

O enunciado quer um número de dois algarismos N que seja quadrado de um natural, tal que ao inverter seus algarismos obtenha-se um número ímpar M, e a diferença entre eles seja o cubo de um natural. Vamos listar os quadrados de dois algarismos e depois aplicar os filtros de “invertido ímpar” e “diferença cubo”.

Passo 2

Os quadrados de números naturais entre 4^2=16 e 9^2=81 são
16,,25,,36,,49,,64,,81.

Passo 3

Para que o invertido M seja ímpar, seu último dígito deve ser ímpar. Isso significa que o primeiro dígito de N precisa ser ímpar. Dos candidatos acima, só têm primeiro dígito ímpar:
16mapsto 61, 36mapsto 63, 49mapsto 94, 81mapsto 18
Destes, apenas 61 e 63 são ímpares. Assim, restam N=16 e N=36.

Passo 4

Para cada candidato, calculamos De<a = M - N e verificamos se é cubo perfeito:
Para N=16, M=61:
De<a = 61 - 16 = 45,
e 45 não é cubo perfeito.
Para N=36, M=63:
De<a = 63 - 36 = 27 = 3^3,
que é cubo perfeito.

Passo 5

Portanto, o único N que satisfaz todas as condições é 36. A soma dos algarismos de 36 é
3 + 6 = 9

Resposta

9

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