- (OBM-88) Determine todos os primos que são soma e diferença de dois primos.
- (OBM-2000) O número 10 pode ser escrito de duas formas como soma de dois números primos:
e
. De quantas maneiras podemos expressar o número 25 como uma soma de dois números primos?
A) 4
B) 1
C) 2
D) 3
E) nenhuma
A) 4
B) 1
C) 2
D) 3
E) nenhuma
Passo 1
Temos duas questões: a
pede determinar todos os primos
que podem ser escritos tanto como soma de dois primos quanto como diferença de dois primos; a
pede de quantas maneiras podemos expressar o número
como soma de dois primos. Para resolver vamos usar a paridade dos primos (primos maiores que
são ímpares), o conceito de primos gêmeos e o fato de que a soma de dois ímpares é par, assim como a diferença de dois ímpares também.
Passo 2
Consideremos primeiro a soma de dois primos. Se
é um primo maior que
, então é ímpar. Mas a soma de dois primos ímpares seria par, logo para obter um ímpar
só podemos usar o primo
mais outro primo. Assim, qualquer representação de
como soma de dois primos deve ser
onde
é primo. Daí
também deve ser primo.
Passo 3
Agora consideremos a diferença de dois primos. Para ter um resultado ímpar
como
com
primos, observe que a diferença de dois primos ímpares seria par, então um dos dois primos deve ser
. Como
deve ser maior que
para
positivo, necessariamente
. Logo
com
primo, isto é,
também deve ser primo.
Passo 4
Concluímos que um primo
pode ser escrito simultaneamente como soma e como diferença de dois primos se, e somente se, tanto
quanto
forem primos. Isso significa que
é um triplo de primos consecutivos de diferença
, o único caso possível é
Assim, o único valor de
que satisfaz é
.
Passo 5
Para a questão
, queremos escrever
como soma de dois primos. Como
é ímpar, a soma de dois primos ímpares geraria um número par, então um dos primos deve ser
. Logo a única possibilidade é
e
é primo. Não há outra decomposição, pois qualquer outro par envolveria dois ímpares somando em par ou num não-primo. Portanto há exatamente
maneira.