1. (OBM-88) Determine todos os primos que são soma e diferença de dois primos.
  2. (OBM-2000) O número 10 pode ser escrito de duas formas como soma de dois números primos: 10=5+5 e 10=7+3. De quantas maneiras podemos expressar o número 25 como uma soma de dois números primos?
    A) 4
    B) 1
    C) 2
    D) 3
    E) nenhuma

Passo 1

Temos duas questões: a 24 pede determinar todos os primos p que podem ser escritos tanto como soma de dois primos quanto como diferença de dois primos; a 25 pede de quantas maneiras podemos expressar o número 25 como soma de dois primos. Para resolver vamos usar a paridade dos primos (primos maiores que 2 são ímpares), o conceito de primos gêmeos e o fato de que a soma de dois ímpares é par, assim como a diferença de dois ímpares também.

Passo 2

Consideremos primeiro a soma de dois primos. Se p é um primo maior que 2, então é ímpar. Mas a soma de dois primos ímpares seria par, logo para obter um ímpar p só podemos usar o primo 2 mais outro primo. Assim, qualquer representação de p como soma de dois primos deve ser
p = 2 + q
onde q é primo. Daí q = p - 2 também deve ser primo.

Passo 3

Agora consideremos a diferença de dois primos. Para ter um resultado ímpar p como
p = c - d
com c,d primos, observe que a diferença de dois primos ímpares seria par, então um dos dois primos deve ser 2. Como c deve ser maior que d para p positivo, necessariamente d = 2. Logo
p = c - 2
com c primo, isto é, c = p + 2 também deve ser primo.

Passo 4

Concluímos que um primo p pode ser escrito simultaneamente como soma e como diferença de dois primos se, e somente se, tanto p - 2 quanto p + 2 forem primos. Isso significa que (p-2,p,p+2) é um triplo de primos consecutivos de diferença 2, o único caso possível é
(3,5,7)
Assim, o único valor de p que satisfaz é 5.

Passo 5

Para a questão 25, queremos escrever 25 como soma de dois primos. Como 25 é ímpar, a soma de dois primos ímpares geraria um número par, então um dos primos deve ser 2. Logo a única possibilidade é
25 = 2 + 23
e 23 é primo. Não há outra decomposição, pois qualquer outro par envolveria dois ímpares somando em par ou num não-primo. Portanto há exatamente 1 maneira.

Resposta

24 5
25 B

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