OBM - Qual o menor número inteiro positivo pelo qual se deve multiplicar o número
para se obter um quadrado perfeito?
a) 7
b) 84
c) 0
d) 1
e) 21
a) 7
b) 84
c) 0
d) 1
e) 21
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos encontrar o menor inteiro positivo
tal que
seja um quadrado perfeito. Para isso, vamos usar fatoração em primos e a condição de que, numa fatoração de um quadrado perfeito, todos os expoentes são pares.
Passo 2
Fatoramos o número dado na forma de primos:
Passo 3
Analisamos os expoentes na fatoração de
:
– O fator tem expoente
, que já é par.
– O fator tem expoente
, que é ímpar.
– O fator tem expoente
, que é ímpar.
Para formar um quadrado perfeito, todos os expoentes na fatoração devem ser pares.
– O fator
– O fator
– O fator
Para formar um quadrado perfeito, todos os expoentes na fatoração devem ser pares.
Passo 4
Precisamos multiplicar por fatores que tornem os expoentes pares, ou seja, precisamos de mais um
e de mais um
. Logo, o menor
que faz isso é
Passo 5
Verificação final:
cuja fatoração tem todos os expoentes pares, confirmando que é um quadrado perfeito.