OBM - Qual o menor número inteiro positivo pelo qual se deve multiplicar o número 7 times 3^3 times 2^4 para se obter um quadrado perfeito?
a) 7
b) 84
c) 0
d) 1
e) 21

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos encontrar o menor inteiro positivo m tal que
m times l(7 times 3^3 times 2^4r)
seja um quadrado perfeito. Para isso, vamos usar fatoração em primos e a condição de que, numa fatoração de um quadrado perfeito, todos os expoentes são pares.

Passo 2

Fatoramos o número dado na forma de primos:
N = 7 cdot 3^3 cdot 2^4

Passo 3

Analisamos os expoentes na fatoração de N:
– O fator 2 tem expoente 4, que já é par.
– O fator 3 tem expoente 3, que é ímpar.
– O fator 7 tem expoente 1, que é ímpar.
Para formar um quadrado perfeito, todos os expoentes na fatoração devem ser pares.

Passo 4

Precisamos multiplicar por fatores que tornem os expoentes pares, ou seja, precisamos de mais um 3 e de mais um 7. Logo, o menor m que faz isso é
m = 3^1 cdot 7^1 = 21

Passo 5

Verificação final:
mN = 21 times (7 cdot 3^3 cdot 2^4) = 7^2 cdot 3^4 cdot 2^4,
cuja fatoração tem todos os expoentes pares, confirmando que é um quadrado perfeito.

Resposta

21

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