(OBM-98) Prove que em qualquer pentágono convexo existem dois angulos internos consecutivos cuja soma é maior ou igual a 216^{\circ}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num pentágono convexo, há sempre dois ângulos internos consecutivos cuja soma é pelo menos 216^\circ. Vamos usar o fato de que a soma dos cinco ângulos internos de qualquer pentágono é 540^\circ e analisar as somas de pares consecutivos.

Passo 2

Sejam, em ordem, os ângulos internos do pentágono \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4},\alpha_{5}. Por teoria de polígonos convexos, vale
\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}+\alpha_{4}+\alpha_{5}=540^\circ.

Passo 3

Definimos as cinco somas de pares de ângulos consecutivos (tomando índice módulo 5):
S_{1}=\alpha_{1}+\alpha_{2},\quad S_{2}=\alpha_{2}+\alpha_{3},\quad S_{3}=\alpha_{3}+\alpha_{4},\quad S_{4}=\alpha_{4}+\alpha_{5},\quad S_{5}=\alpha_{5}+\alpha_{1}.
Somando todos os S_{i}, cada \alpha_{k} aparece exatamente duas vezes, logo
S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}+S_{5} =2\bigl(\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}+\alpha_{4}+\alpha_{5}\bigr) =2\cdot540^\circ=1080^\circ.

Passo 4

Suponha, por absurdo, que todos os S_{i} sejam estritamente menores que 216^\circ. Então
S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}+S_{5} <5\times216^\circ=1080^\circ,
contradizendo o valor exato 1080^\circ obtido acima.

Resposta

Logo, essa contradição mostra que não é possível ter todos os S_{i}<216^\circ. Portanto existe pelo menos um par de ângulos internos consecutivos cuja soma é maior ou igual a 216^\circ.

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