(OBM-98) Prove que em qualquer pentágono convexo existem dois angulos internos consecutivos cuja soma é maior ou igual a
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num pentágono convexo, há sempre dois ângulos internos consecutivos cuja soma é pelo menos
. Vamos usar o fato de que a soma dos cinco ângulos internos de qualquer pentágono é
e analisar as somas de pares consecutivos.
Passo 2
Sejam, em ordem, os ângulos internos do pentágono
. Por teoria de polígonos convexos, vale
Passo 3
Definimos as cinco somas de pares de ângulos consecutivos (tomando índice módulo 5):
Somando todos os
, cada
aparece exatamente duas vezes, logo
Passo 4
Suponha, por absurdo, que todos os
sejam estritamente menores que
. Então
contradizendo o valor exato
obtido acima.
Resposta
Logo, essa contradição mostra que não é possível ter todos os
. Portanto existe pelo menos um par de ângulos internos consecutivos cuja soma é maior ou igual a
.