De quantas maneiras podemos distribuir 10 objetos distintos entre dois grupos distintos de modo que cada grupo receba pelo menos un objeto?

Passo 1

O enunciado pede para distribuir 10 objetos distintos em dois grupos distintos, com a condição de que cada grupo receba pelo menos um objeto. O conteúdo envolve contagem de casos usando o princípio multiplicativo e o princípio da inclusão-exclusão.

Passo 2

Para cada um dos 10 objetos há duas escolhas independentes: colocá-lo no grupo A ou no grupo B. Pelo princípio multiplicativo, sem restrições isso gera
2^{10}
distribuições possíveis.

Passo 3

Agora aplicamos o princípio da inclusão-exclusão para impor a condição de “cada grupo recebe pelo menos um objeto”. Precisamos excluir:
  1. O caso em que o grupo A fica vazio (todos os objetos em B): 1 forma.
  2. O caso em que o grupo B fica vazio (todos os objetos em A): 1 forma.
    Não há sobreposição entre esses dois casos, pois não há distribuição em que ambos os grupos fiquem simultaneamente vazios.

Passo 4

Subtraindo os casos inválidos do total, obtemos o número de distribuições válidas:
2^{10} - 2 = 1024 - 2 = 1022.

Resposta

O número de maneiras é 1022.

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