De quantas maneiras 7 homens e 2 mulheres podem ser colocados em fila de modo que entre as duas mulheres existam exatamente 3 homens?

Solução:

Sejam \mathrm{M}_{1} e \mathrm{M}_{2} as duas mulheres. Vamos iniciar a análise a partir de uma situação em que a mulher M_{1} ocupa a 1^{\text {a }} posição da fila: M_{1} \qquad \mathrm{M}_{2} \qquad Evidentemente os espaços vazios \qquad serão ocupados pelos 7 homens.
Perceba que mantendo exatamente 3 homens entre as duas mulheres e \mathrm{M}_{1} à esquerda de M_{2} existem, além da situação inicial, mais 4 situações possíveis:
\qquad
\mathrm{M}_{1} - \overline{\mathrm{M}}_{1} \mathrm{M}_{2}-\overline{\mathrm{M}}_{2}{ }^{\text {ou }} ou _{-} \mathrm{M}_{1}-\overline{\mathrm{M}}_{1} \mathrm{M}_{2}-\overline{\mathrm{M}}_{2}{ }^{\text {ou }}
Como podemos, em cada uma das 5 situações acima, trocar de posição as mulheres (de modo que a mulher M_{2} fique à esquerda da mulher M_{1} ) então existem 2.5=10 posições relativas de \mathrm{M}_{1} e \mathrm{M}_{2}. Para cada uma destas 10 posições relativas devemos permutar livremente os 7 homens. Desta forma, o número total de permutações é igual a 10.7!=50400.

Passo 1

Resumindo o problema: queremos formar uma fila de 9 lugares com 7 homens e 2 mulheres, de modo que haja exatamente 3 homens entre as duas mulheres. O que vamos usar é contagem de posições para as mulheres e depois permutar os homens nos lugares restantes.

Passo 2

Para que haja exatamente 3 homens entre as duas mulheres, as posições delas na fila devem diferir em 4. Se chamarmos de i a posição da mulher que fica mais à esquerda, a outra estará em i+4. Como a fila tem 9 lugares, i pode variar de 1 até 9-4=5. Logo, com a ordem fixa (mulher “esquerda” e “direita”), há
5
formas de escolher esses dois lugares. Como as mulheres são distintas, podemos trocar quem ocupa cada conjunto de lugares, o que multiplica por 2!. Assim, o número de maneiras de posicionar as duas mulheres é
5 \times 2! = 5 \times 2 = 10.

Passo 3

Depois de fixar onde ficam as mulheres, restam 7 lugares vazios para os 7 homens e eles podem ser dispostos de qualquer forma. O número de permutações desses 7 homens é
7!.

Passo 4

Pelo princípio multiplicativo, o total de arranjos é
10 \times 7! = 10 \times 5040 = 50400.

Resposta

50400

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