OBM - São escritos todos os números de 1 a 999 nos quais o algarismo 1 aparece exatamente 2 vezes (tais como, 11, 121, 411, etc). A soma de todos estes números é:
a) 6.882
b) 5.994
c) 4.668
d) 7.224
e) 3.448

Passo 1

O enunciado pede a soma de todos os números entre 1 e 999 em que o dígito “1” aparece exatamente duas vezes. Vamos usar contagem por casos e a noção de valor posicional (centena, dezena, unidade) para obter essa soma.

Passo 2

Primeiro, números de dois dígitos com exatamente duas ocorrências de “1”: só existe o número
11
Logo, soma desse caso é 11.

Passo 3

Agora, números de três dígitos XYZ com exatamente duas unidades “1”. Ou seja, dois dos dígitos X,Y,Z valem 1 e o terceiro vale um dígito distinto de 1. Vamos separar em subcasos conforme a posição do dígito diferente de 1:
1. Dígito diferente de 1 na casa das centenas ( Xne1, Y=1, Z=1).
Aqui Xin2,3,dots,9, há 8 valores e
sumX=2^9(100X+10cdot1+1) =100sumX=2^9X +8cdot11 =100cdot44 +88 =4488
2. Dígito diferente de 1 na casa das dezenas ( X=1, Yne1, Z=1).
Aqui Yin0,2,3,dots,9, há 9 valores e
sum(100cdot1 +10Y+1) =9cdot101 +10sum Y =909 +10cdot44 =1349
3. Dígito diferente de 1 na casa das unidades ( X=1, Y=1, Zne1).
Aqui Zin0,2,3,dots,9, há 9 valores e
sum(100cdot1 +10cdot1 +Z) =9cdot110 +sum Z =990 +44 =1034

Passo 4

Somando todos os casos:
11 ;+; 4488 ;+; 1349 ;+;1034 ;=;6882

Resposta

(a)

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