OBM - São escritos todos os números de 1 a 999 nos quais o algarismo 1 aparece exatamente 2 vezes (tais como, 11, 121, 411, etc). A soma de todos estes números é:
a) 6.882
b) 5.994
c) 4.668
d) 7.224
e) 3.448
a) 6.882
b) 5.994
c) 4.668
d) 7.224
e) 3.448
Passo 1
O enunciado pede a soma de todos os números entre 1 e 999 em que o dígito “1” aparece exatamente duas vezes. Vamos usar contagem por casos e a noção de valor posicional (centena, dezena, unidade) para obter essa soma.
Passo 2
Primeiro, números de dois dígitos com exatamente duas ocorrências de “1”: só existe o número
Logo, soma desse caso é
.
Passo 3
Agora, números de três dígitos
com exatamente duas unidades “1”. Ou seja, dois dos dígitos
valem 1 e o terceiro vale um dígito distinto de 1. Vamos separar em subcasos conforme a posição do dígito diferente de 1:
1. Dígito diferente de 1 na casa das centenas (
,
,
).
Aqui , há 8 valores e
Aqui
2. Dígito diferente de 1 na casa das dezenas (
,
,
).
Aqui , há 9 valores e
Aqui
3. Dígito diferente de 1 na casa das unidades (
,
,
).
Aqui , há 9 valores e
Aqui
Passo 4
Somando todos os casos:
Resposta
(a)