Obtenha e esboce o caminho, juntamente com sua orientação, dado por:
z(t)=1+i+e^{-\pi i t}(0 \leqq t \leqq 2)

Passo 1

O enunciado dá o caminho paramétrico
z(t)=1+i+e^{-\pi i t},\quad 0\le t\le 2,
e pede para identificarmos sua forma geométrica no plano complexo (conteúdo: curvas paramétricas em \mathbb C) e desenharmos seu esboço com a orientação adequada.

Passo 2

Observamos que o termo e^{-\pi i t} descreve o círculo unitário em torno da origem: para todo t,
|e^{-\pi i t}|=1
e o argumento varia como \arg(e^{-\pi i t})=-\pi t.

Passo 3

Como z(t)=(1+i)+e^{-\pi i t}, trata-se de transladar esse círculo unitário de centro 0 para o ponto 1+i. Logo a imagem de z(t) é
\bigl\{\,w\in\mathbb C:|w-(1+i)|=1\bigr\},
isto é, um círculo de centro (1,1) e raio 1.

Passo 4

Para t=0 temos
z(0)=1+i+e^{0}=2+i,
e para t=2
z(2)=1+i+e^{-2\pi i}=2+i,
logo o círculo fecha. O argumento -\pi t varia de 0 a -2\pi, isto é, percorre uma volta completa em sentido horário (orientação negativa), partindo de 2+i.

Passo 5

Esboço do caminho no plano de Argand:
  • desenhe o ponto 1+i como centro e trace o círculo de raio 1;
  • marque o ponto inicial 2+i (direita do centro);
  • indique setas ao longo do círculo no sentido horário, retornando a 2+i.

Resposta

O caminho é o círculo
\{\,z\in\mathbb C:|z-(1+i)|=1\},
percorrido uma única vez em sentido horário, começando e terminando em z=2+i.

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